Légyszi segíténetek matek/számelmélet feladatokban?

1.

N = qr(r-q) + pq(q-p) + rp(p-r)

= r²q - q²r + q²p - p²q + p²r - r²p

= r²(q-p) + q²(p-r) + p²(r-q)

Egy 3-nál nagyobb prím vagy 3k+1, vagy 3k+2 alakú. A négyzete 3-mal osztva 1 maradékot ad (2²=3+1): 3x+1

N = 3·(x₁+x₂+x₃) + (q-p) + (p-r) + (r-q) = 3·(...) + 0

Tehát 3-mal osztható.

Egy prím vagy a) 4k+1, vagy b) 4k+3 alakú. A négyzete:

a) 16k² + 8k+1 vagy b) 16k² + 24k + 9

Ha k páros, akkor 16-tal osztva a) 1 vagy b) 9 a maradék.

Ha k páratlan, akkor 16-tal osztva a) 8+1=9 vagy b) 24+9≡1 a maradék.

Legyen m = 1 vagy 9

N = 16·(...) + m₁(q-p) + m₂(p-r) + m₃(r-q)

Ha mindegyik m egyforma, akkor az m-es összeg 0, osztható 16-tal.

Ha mondjuk m₁=m₂ = 1 és m₂ = 9:

(q-p) + (p-r) + 9(r-q) = 8(r-q) osztható 16-tal.

Ha viszont m₁=m₂ = 9 és m₂ = 1:

9(q-p) + 9(p-r) + (r-q) = 8(q-r) osztható 16-tal.

A harmadiknál az a csel, hogy két páratlan prím esetén a p^q + q^p értéke páros. Mindkettő 2 nem lehet, tehát az egyik 2, a másik páratlan prím. Legyen q=2 (azért, mert q lesz így a kisebb).

Így 2^p+p^2 prím.

Ha a p páratlan prím nem osztható 3-mal, akkor a négyzete 3-mal osztva 1 maradékot ad.

2-nek a páratlan kitevős hatványai viszont 2 maradékot ad 3-mal, azaz 2^p+p^2 osztható lesz 3-mal.

Emiatt p prím osztható 3-mal, azaz p=3.

Ebből már ki tudod számolni ama kifejezés értékét.

(ami átalakítva 3p^6-3q^6+15=2010, ha jól látom... nyilván ez hét éve volt valami versenyfeladat.)