Matek háziban kellene segítség. Mi a megoldás? (sorozatos feladat, elég nehéz de érdekes szerintem)

De igaz az állítás,

x(3)=3+gyök(8*(1+1681))=119,

egész.

Nyilván csak azt kell bebizonyítani, hogy a gyök alatt négyzetszám áll. A gyökjel alól 4-et ki lehet vinni, tehát azt kell bebizonyítani, hogy

gyök(2*(x_(n)^2+x_(n+1)^2)) egész, azaz

2*(x_(n)^2+x_(n+1)^2)

négyzetszám.

Ez azzal ekvivalens, hogy

(x_(n)^2+x_(n+1)^2) = 2k^2

egy négyzetszám kétszerese, hiszen ekkor lesz a bal oldal 4k^2 alakú, és a páros négyzetszámok mind ilyenek.

Tehát azt kell bebizonyítani (teljes indukcióval), hogy ha

x_n^2+x_(n+1)^2=2k^2,

akkor

x_(n+1)^2+x(n+2)^2

is egy négyzetszám kétszerese.

Ehhez

x_(n+1)^2+x(n+2)^2 =

x_(n+1)^2+(3x_n+gyök(8(x_n^2+x_(n+1)^2)))^2 =

x_(n+1)^2 + 9x_n^2 + 6x_n*gyök(8(x_n^2+x_(n+1)^2)) + 8x_n^2+8x_(n+1)^2 =

9x_(n+1)^2 + 3x_n*gyök(8*2k^2) + 17x_n^2 =

=9*(x_(n+1)^2+x_n^2) + 24x_n*k + 8*x_n^2 =

= 9*2k^2 + 24x_n*k + 8*x_n^2 =

=2(9k^2+12kx_n+4x_n^2) =

=2(3k+2x_n)^2,

valóban egy négyzetszám kétszerese.