Segittek megoldani egy nagyon erdekes matek feladatot?

Tom, az nem elég, a prímhatványokat úgy nem lehet figyelembe venni.

Kérdező, olyasmi irányba lehet talán elmenni, hogy egy N küszöbig a prímek számára adható felső becslés (lásd prímszámtétel), valamint a prímhatványok számára is, hogy legfeljebb Σ N^(1/k) darab lehet belőlük k=2-től végtelenig. Lásd:

[link]

Vagyis a prímek plusz prímhatványok száma N-ig kb ennyi:

ν(N) = O(N / ln N + √N·ln N)

Persze nem ez kell neked, hanem egy felső becslés, de az is ilyesmi lesz, nézz utána.

Ebből pedig N / ν(N) adja a közöttük lévő átlagos távolságot:

δ(N) = O(1/ln N + ln N / √N)

Található olyan N küszöb, amire δ(N) > n, tetszőleges n-hez, ezzel bizonyítottuk a tételt.

Az ordó helyett jobb lenne valamilyen felső becslés, azt rád bízom.

Valószínű van egyszerűbb bizonyítás is, de most nem jut más az eszembe.

Hülyeséget írtam a végén, δ(N) = N/ν(N), nem pedig a reciproka, ahogy írtam.

De a gondolatmenet szerintem jó, próbáld kifejteni.

Nem lesz feltétlenül két különböző prím szorzata az összes többi esetben! Ellenpéldák:

n=1: Πpᵢ + 1 = 3, +1=4 = 2²

n=2: Πpᵢ + 1 = 7, +1=8 = 2³, +2=9 = 3²

n=3: Πpᵢ + 1 = 31, +1=32 = 2⁵

Nincs arra garancia, hogy nagyobb n-eknél is ne jönnön be egy prímhatvány.