Adott (x0, y0) körüli, alpha szögű forgatás mátrixa hogy néz ki? A síkon természetesen.

Három mátrix szorzata lesz:

- Eltolod a pontot (-x0,-y0)-lal

- Elforgatod

- Visszatolod (x0,y0)-lal

Na most az eltolás nem oldható meg 2 dimenziós vektorokkal, úgynevezett homogén koordinátákat kell használni. Ugye tudod, mi az? Szóval minden pontod (vektorod) 3 dimenziós lesz, a mátrixok is 3x3-asok.

Ha nem ismerősek ezek a dolgok neked, akkor olvasgass mondjuk itt: (Nem állítom, hogy ezek a legjobb linkek, éppen csak ezeket találtam elsőre)

Homogén koordináták: [link]

Transzformációk: [link]

(Az utóbbi térben megy, 4x4-es mátrixokkal, síkban hasonlóak lesznek, csak 3x3-asok.)

Az egész transzformáció nem adható meg egyetlen mátrixal, mivel az eltolás nem affin leképezés.

Én azt csinálnám, hogy áttérek egy lokális koordinátarendszerre, aminek az origója az a pont, ami körül forgatunk. A forgatás utáni pontokat, ami ugye a lok.koord.rendszerben már ismert, visszatranszformálnám eltolással az eredeti rendszerbe.

Ez az egész úgy fog kinézni, hogy a

forgatás utáni pontok vektora = 2x2 mátrix * egy vektor + eltolási vektor.

#3:

"Az egész transzformáció nem adható meg egyetlen mátrixal, mivel az eltolás nem affin leképezés."

Ez így nem igaz, csak így:

"Az egész transzformáció nem adható meg egyetlen 2x2-es mátrixal, mivel az eltolás nem affin leképezés."

Ahogy írtam, homogén koordinátákkal, vagyis még egy plusz dimenzió bevezetésével megadható.

De a kérdezőnek bizonyára nem fontos az, hogy egyetlen mátrix legyen, 3 lépésben is jó, ahogy mindketten írtuk.

Kedves bongolo, ezt a homogén koordinátás dolgot kifejtenéd egy picit bővebben?

Tehát ha jól értem, akkor legyen egy 2 dimenzióban végrehajtandó transzformációsorozat, amely összességében a 2 D-ben nem affin leképezés. Vagyis olyan másodfokú tenzor, amelyet 2x2-es mátrix reprezentál nem létezik.

Viszont azt állítod, létezik olyan másodfokú tenzor, amelyet 3x3-as mátrix reprezentál, és ez magába foglalja az eredeti, síkban végrehajtandó transzformációknak azokat a részeit is, amelyek nem affin leképezések.

Jól értem?

Ha igen, akkor hogyan lehet előállítani ezt a tenzort, amit 3x3-as mátrix reprezentál. Másodfokú lesz -e a tenzor?

Vajon ez a módszer kiterjeszthető -e n dimezis nem affin transzformációkra, ahol valamilyen m>n rendű mátrixal lehetne előállítani az eredeti leképezés esetét?

Mire "hat" ilyenkor a tenzor, mint a leképezés operátora?

Számítógépes grafikában szokásos módszer ez a homogén koordinátának nevezett dolog. Régen volt már, amikor tanultam, nem is emlékszem, milyen elméletet tanultunk hozzá. A lényeg, hogy plusz egy koordinátát adunk minden vektorhoz, ami egy nem 0 szám, és minden [x, y, a] vektor ugyanazt az [x/a, y/a] pontot jelenti (oszlopvektor persze mind, de itt nehéz olyat írni).

A [dx, dy] vektorral való eltolás mátrixa ez lesz:

[1 0 dx]

[0 1 dy]

[0 0 1]

Az első linken, amit pár napja küldtem, részletesen leírják.