Valaki segítene matekban?

1. 0,8*4/3=8/10*4/3=4/5*4/3=16/15, azaz 16/15 részéért adták el az árut. Ez kb. 105,67%-a az eredeti árnak.

2. n+(n-3)*n/2=171

2n+n*(n-3)=342

2n+n^2-3n=342

n^2-n=342

n*(n-1)=342

19*18=342

n=19 oldalú.

19-2=17 háromszögre bontható, így 17*180°=3060 fok a belső sz. összege.

3060/19=161,05 fok egy-egy belső szöge, és 180-161,05=18,95 egy-egy külső szöge.

Egy csúcsból n-3 átló, azaz 16 húzható, ezek páronként egyenlőek, így 8 különböző húzható 1 csúcsból.

Első: Nekem nem teljesen egyértelmű...így szólt pontosan a feladat? Ha az eredeti ára 1 egység, akkor -20% után 0,8 marad, ennek a 4/3 része 1,066. Tehát 100.0666%-a az eredeti árnak a végleges.

Második: N oldalú sokszög átlóinak száma n(n-3)/2 plusz oldalak száma n, ezek összege 171...

Ezt kiszámolod, egy másodfokú egyenlet lesz.

Belső szögeinek összege: (n−2)⋅180° <--- ide behelyettesíted n-re a kapott oldalszámot

egy belső szöge 360°/n

külső szög <--- 360-belső szög...

Én adtam az első választ. A másodiknak üzenem, hogy 1,0666.. az éppen 106,66%, azaz ő is jót írt, de százalékra rosszul sikerült átváltani.

Továbbá: az a bizonyos másodfokú egyenlet n*(n-1) alakba egyszerűsítve adja, hogy a megoldás 18 vagy 19 kell, hogy legyen, hiszen 18^2 és 19^2 közé esik az a bizonyos 342. Ez pedig 2 "találgatás" után megadja a várt eredményt.

Nem igaz, hogy egy n oldalú sokszöb egy belső szöge 360/n, ez az állítás minden alapot nélkülöz, gondolj bele. Ez alapján a szabályos háromszög szögei 120 fokosak???? Végül pedig a külső szög nem az, ami kívül van, hanem a belső szöget egyenesszögre egészíti ki, azaz 180-belső szög.

,,Egy szabályos konvex sokszög összes átlójának száma...''

ⁿ⁽ⁿ⁻³⁾/₂

,,és az oldalak számának kétszerese...''

+ 2⋅n

... 171-gyel egyenlő.

ⁿ⁽ⁿ⁻³⁾/₂ + 2⋅n = 171

mindkét oldalt szorozzuk 2-vel:

n⋅(n-3) + 4⋅n = 342

..felbontjuk a baloldalon álló első tagját:

n² - 3n + 4n = 342

...összevonás:

n² + n = 342

...n kiemelése:

n⋅(n + 1) = 342

Megoldóképlet, de ha valaki nem szereti, akkor megnézzük, mely ismert négyzetszámok közé esik, és ez alapján próbálkozhatunk (mint ahogy korábban a fenti válaszban olvasható). Vagy van még egy megoldás: felbontom 342-öt törzstényezőkre:

342.┃.2..

171.┃.3..

.57.┃.3..

.19.┃19..

Mi is volt a kívánt egyenlet?

n⋅(n + 1) = 342

Szóval, a jobboldali fügőleges oszlopból megpróbálok össszeállítani két számot, amelyből az egyik épp eggyel nagyobb, mit a másik. Nézzük a ,,csapatválogatást'', lehetlőleg válogassunk ,,közel azonos súlycsoportban'':

Egyik ,,csapat'': 2⋅3⋅3 = 2⋅9 = 18

Másik ,,csapat'': 19 (egyedüli versenyző a saját önálló csapatában, egymagában elgyűrné az összes többit együttvéve)

Ez épp jó, a 18 és a 19 közül az egyik tényleg épp a másikra következik, és szorzatuk valóban 342.

n⋅(n + 1) = 342

n = 18, n + 1 = 19

Valójában, mivel itt másodfokú egyenletről van szó, lehetséges, hogy van még egy megoldás. És valóban,

n = - 19, n + 1 = -18

azonban a feladat geometriai interpetációja miatt ez nem jön szóba.

Tehát szabályos 18-szögről van szó. Mennyi a belső szögek összege? egyáltalán mekkorák a beső szögek?

Bármilyen furcsa is első hallásra, egyszerűbb, ha előbb a külső szögekkel foglakozunk, és a belső szögekkel való foglalkozást későbbre halasztjuk. Ebből a szempontból itt a belső szögek ,,macerásabbak'', mint a külső szögek. Majd a külső szögből úgyis kényelmesen kiszámíthatjuk a belsőt.

Képzeljük el, hogy egy repülővel körutat kell megtennünk. Pontosan vissza kell érnünk éppen a kiindulási pontba, egy kör megtétele után. A ,,körútnak'' nem kell sima kör alakúnak lennie, nem baj, ha ,,rángatjuk a kormányt'', szóvla nem gond, ha a repülő egyenesen repül egy útszakaszt, és pillnatszerűen, hirtelen szögekben rándul be időnként. Egyenesen reülünk előre, majd rántunk egyet a kormányon, megint repülünk egy kicsit, majd megint rántunk egyet a kormányon, és így tovább. Mikor repül a repülőő újra abban az irányban, mint induláskor? Akkor, amikor az egyes fordulások összege épp egy teljes fordulatot tesz ki. Ha lerajzolom, akkor látszik, hogy a repülő egy ,,befordulása'' éppen annak felel meg, ami a repülő pályáját lerajzoló sokszög egy KÜLSŐ SZÖGÉNEK nevezzünk. Ha a külső szögek összege éppen 360° lesz, akkor hozzuk vissza a repülőt éppen vissza az elindindulási irányba. És ha még a pálya teljesen szimmetrikus is volt mindvégig (azonos ,,befordulások, azonos ,,útszakaszok'' mindvégig), akkor vissza is érhetünk épp a kiindulási pontba (pontosabban szólva, kell még valami, de ez most nem fontos itt).

A szabályos 18-szög esetén tehát a 360° éppen 18 darab (azonos) külső szüg között ,,oszlik meg'', tehát egy külső szögre ³⁶⁰/₁₈ = 20° ,,jut''.

Most már könnyen megadhatjuk a külső szöghöz tartozó belső szöget: 160°, hiszen az összetartozó külső és belső szög egymást éppen egyenesszögre (180°-ra) egészíti ki, és a 20°-ot 260° egészíti ki 180°-ra.

A belső szögek összege: 18⋅160° = 2880°

Az egy pontból induló átlók:

Képzeljük el a sokszög csúcsait beszámozva (mint egy óra számlapját. Jelöljük ki az egyik csúcsot (mondjuk a 01-es sorszámút), és nézzük meg, onnan hova futnak átlók.

* Önmagába nem, tehát a 01-es kizárva.

* A szomszéd pontba, 02-be húzható szakasz, de az él, nem pedig átló, tehát 02-es is kizárva. Hasonló okból ki kell zárni a másik szomszéd csúcsba futó élt is, 18-ast.

Tehát mi marad, mi jöhet egyáltalán szóba? 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17. Ezek mind átlók.

Sajnos nem mind lesznek különbözőek. Valóban, ahogy a korábbi válasz is írta, ezek párosíthatóak méret szerint, de nem biztos, egyszerűen csak eloszthatjuk a számukat kettővel, és kész vagyunk. Előfordulhat az is, hogy kimarad egy ,,kakukktojás'' a ,,párosításból'': egy leghosszabb átló! Példaként nézzük meg a dolgot kis sokszögekre: négyszög, ötszög, hatszög. A ,,páros'' csúcsszámú sokszögeknél bizony van a ,,párosításból kimaradó'' ,,leghhosszabb átló''. A páratlan csúcsszámú sokszögeknél nincs ,,kimaradó kakukktojás'' a párosításból.

Nézzük meg a pontos elrendezést:

03┃04┃05┃06┃07┃08┃08

17┃16┃15┃14┃13┃12┃11

a hiányzó 10-es átlónak nincs párja, ő a leghosszabb átló.

Tehát összesen 8-féle méretben kapunk átlókat, ebből lesz egy ,,leghosszabb'', a többiek pedig kettesével párosítva, 7-féle méretet adnak.

A szemléletesség kedvéért szívesen kirajzoltatnám, és megmérném a szögeket, ezt a munkát azonban itt ezen az online fórumon papír helyett mégiscsak a Wolfram Alpha-val végeztetem el, hiszen így könnyebb az eredményt nyilvánosan bemutatni.

Először is, megkérdezem a Wolfram Alpha-t magáról az egyenletről:

ⁿ⁽ⁿ⁻³⁾/₂ + 2⋅n = 171

ő meg erre ezt válaszolta:

[link]

Szóval valóban (szabályos) 18-szögről van szó (persze csak akkor, ha jól értelmeztem a szöveges feladatot, és ha nem követtem el hibát az szövegértelmezés során).

Megkérdezem újra a Wolfram Alpha-t, mit tud mondani a szabályos 18-szög tulajdonságairól:

[link]

a belső szög mérete mindenesetre stimmel, valóban 160°. Lássuk a Wikipédiát is a témáról:

[link]

Ha angolul akar keresélni az ember:

,,regular octadecagon'', vagy ,,regular 18-gon''.

Valamit elgépeltem a linkeknél. A Wolfram Alpha linkek javításai: A

ⁿ⁽ⁿ⁻³⁾/₂ + 2⋅n = 171

egyenlethez ezt szólja hozzá:

[link]

szóval tényleg (szabályos) 18-szög, ehhez a témához pedig ismételten hozzá tud szólni a Wolfram Alpha:

[link]

szóval tényleg 160°-os minden egyes belső szög, az átlók pedig valóban 8-féle méretben fordulnak elő.

diagonal lengths: 1.96962 s | 2.87939 s | 3.70167 s | 4.41147 s | 4.98724 s | 5.41147 s | 5.67128 s | 5.75877 s

ahol s az oldal hosszát jelenti. Úgy az ábrára pillantva eléggé hihetőnek is tűnnek a méretadatok.