Az 1/x integráltjában (ln|x|+c) miért kell az abszolút érték?

Az integrálás a deriválás inverze. Tehát ha ln|x|+c-t derivalod akkor visszakapod az 1/x-et.

Ezt nem igazán lehet elmagyarázni tudomásul kell venni, hogy igy kell megcsinálni és kész.

Egyszerű geometriai úton is könnyedén megfontolható: Az 1/x hiperbola negatív x-ekre vonatkozó ága a pozitív ágnak a 180°-os origó körüli elforgatásával nyerhető.

Tegyük fel, hogy pozitív x-ekre 1/x integrálja ln(x).

Tekintsünk egy xy derékszögű koordinátarendszert. Az x<0 féltengelyre vegyünk fel egy p=-x lokális koordinátát.

Ebből látható, hogy x<0-ra az 1/x integrálja ln(p). Viszont mivel p=-x volt, ezért ln(-x) a végeredmény.

Vagyis abból a feltételből, hogy x>0-ra az integrál ln(x) lesz, levezettük, hogy x<0-ra ln(-x) az integrál.

Vagyis minden x-re az integrál értéke ln(q), ahol

q=x, ha x>0 és

q=-x, ha x<0.

Ez viszont nem más, mint az abszolútérték definíciója, vagyis q=|x|.

Így lesz tehát a végeredmény ln|x|.

Megjegyzem, ha az integrálás során x>0-ra korlátozódunk, akkor az absz.értéket gyakran elhagyjuk.

(Ezt a fentiekből látható módon jogosan tehetjük meg).

Érthető?