Egy körvonal mentén egyenletesen elhelyezünk 6 számot, és közülük bekarikázzuk azokat, melyek kisebbek a szomszédjaik átlagánál. Legfeljebb hény számot karikázhatunk be így?

Konstruáljunk egy ilyen számkört, jelöljük a számokat rendre a,b,c,d,e,f ismeretlenekkel.

Legyen a=0.

Legyen b=1.

Ahhoz hogy b-t be tudjuk karikázni, ahhoz a következő egyenlőtlenségnek kell teljesülnie:

b < (a + c) / 2

1 < (0 + c) / 2

2 < c

Tehát c-nek 2-nél nagyobbnak kell lennie.

Legyen c=3

Jön a következő szám (d):

c < (b + d) / 2

3 < (1 + d) / 2

6 < 1 + d

5 < d

Legyen d=6

Jön a következő szám (e):

d < (c + e) / 2

6 < (3 + e) / 2

12 < 3 + e

9 < e

Legyen e=10

Végül

e < (d + f) / 2

10 < (6 + f) / 2

20 < 6 + f

14 < f

Legyen f = 15

Így b, c, d, e bekarikázható.

~ ~ ~

Ebben az esetben viszont:

f <?> (a + e) / 2

15 <?> (0 + 9) / 2

15 > 9/2

Tehát f nem karikázható be.

Illetve:

a <?> (f + b) / 2

0 <?> (15 + 1) / 2

0 < 8

Tehát a bekarikázható.

~ ~ ~

Ilyen módon konstruáltunk egy kört, amiben öt szám bekarikázható:

0 , 1 , 3 , 6 , 10 , 15

0 < (1+15) / 2 ⇒ 0 < 8

1 < (0+3) / 2 ⇒ 1 < 1,5

3 < (1+6) / 2 ⇒ 3 < 3,5

6 < (3+10) / 2 ⇒ 6 < 6,5

10 < (6+15) / 2 ⇒ 10 < 10,5

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Lehet olyan kör, amiben mindegyik szám bekarikázható? Írjuk fel az egyenlőtlenségeket:

I. a < (f + b) / 2

II. b < (a + c) / 2

III. c < (b + d) / 2

IV. d < (c + e) / 2

V. e < (d + f) / 2

VI. f < (e + a) / 2

Adjuk össze az összes egyenlőtlenséget:

a+b+c+d+e+f < (f+b)/2 + (a+c)/2 + (b+d)/2 + (c+e)/2 + (d+f)/2 + (e+a)/2

2*(a+b+c+d+e+f) < f+b+a+c+b+d+c+e+d+f+e+a

(Itt megfigyelhető, hogy a jobb oldalon minden ismeretlen kétszer szerepel, ami logikus, hiszen pontosan két szomszédjának átlagában szerepel.)

2*(a+b+c+d+e+f) < 2*(a+b+c+d+e+f)

a+b+c+d+e+f < a+b+c+d+e+f

Ez viszont így ellentmondáshoz vezet, így ilyen eset nem állhat fenn.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Ergo legfeljebb 5 számot karikázhatunk be. Sőt hasonló módon igazolható, hogy akárhány számból is áll egy kör, legalább egy szám nagyobb vagy egyenlő, mint a szomszédaik átlaga. Illetve hasonló módon konstruálható a kör, ahol az 2. elemtől az utolsó előtti elemig az össze szám bekarikázható (kisebb, mint a szomszédaik átlaga), de itt is az áll fenn, hogy mivel az első elem nulla, és a kör számjegyeinek minden más tagja pozitív, így a 0, mint első elem biztosan kisebb, mint a szomszédaik átlaga, ami szükségszerűen pozitív kell, hogy legyen.

n számra maximum (n-1) karikázható be. (n=6 esetén ez 5)

Az abszolút legnagyobb szám nyilván nem karikázható be, és, meg lehet úgy adni n számot, hogy van egy legnagyobb, a többi (n-1) meg mind kisebb szomszédia átlagánál, bekarikázandó.

Pl párosra 0,1,4,9,16, ... (n/2)^2, .. 16,9,4,1

páratlanra ugyanez csak a két darab 0-t raksz egymás mellé (ekkor mindkettõ bekarikázódik).

(máshogy: fogod az x^2 parabolát -n/2 és n/2 intervallumon, és, feltekered egy hengerré. Ez még azt is tudja hogy a másod-/harmad- stb szomszédai átlagánál is kisebb lesz mindenki)