Ha x és y két valós szám, hogy kell az alábbiakat kimutatni?

a) Jól kell párosítani; ha

x^3>=xy^2

y^3>=yx^2 teljesül, akkor összegük az eredeti egyenlőtlenség lesz. Ezeket megoldva

x>=y és x>=y egyenlőtlenségeket kapjuk, tehát x>=y esetén igaz lesz. Ha fordítva párosítunk, akkor y>=x és y>=x egyenlőtlenségeket kapjuk, tehát y>=x esetén igaz lesz (bár ha meggondoljuk, hogy az egyenlőtlenség mindkét oldala szimmetrikus, vagyis ha az x-eket felcseréljük az y-okkal, akkor ugyanazt az egyenlőtlenséget kapjuk, nem kell a másodikat külön levezetni). Egyenlőség x=y esetén fog fennállni.

b) Szorzunk x^2-tel és y^2-tel, ekkor

x^3+y^3>=x+y egyenlőtlenséget kapjuk. Mivel x^3>=x és y^3>=y, ezért megvan a jó párosításunk. Egyenlőség x=y=1 esetén lesz.

c) Ezt még át kell gondolnom, de valószínűleg a felszorzás után kijön belőle valami.

d) Beszorzás után:

1+x/y+x/y+1>=4, vagyis

x/y+y/x>=2

A bal oldalon egy szám és annak reciprokának összege látható. Legyen x/y=k, ekkor y/x=1/k, ekkor

k+1/k>=2, szorzunk k-val

k^2+1>=2k, -2k

k^2-2x+1>=0, a bal oldalon teljes négyzet látható

(k-1)^2>=0, ez pedig minden k-ra igaz, és k=1 esetén van egyenlőség.

Tehát mindig igaz lesz, ha pedig x/y=1 -> x=y, akkor egyenlőség lesz.

x³+y³≥x²y+xy²

(x+y)(x²-xy+y²)≥xy(x+y) /:(x+y)≠0

x²-xy+y²≥xy /-xy

x²-2xy+y²≥0

(x-y)²≥0

És valóban, egy valós szám négyzete nemnegatív.