Üdv! A kerdeseim Definiciókat szeretnék Mat Analiz. (érthető könyű rövid változatban) 1Fentről és lentről korlátolt fügvények 2A fügvények határának a tulajdonságai.3Az egyoldali határ definiciója 4A két alapvető határ definiciója (jobb bal)?

Minek írtad ki még egyszer?

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

1) Korlátos függvények.

" Valamely y = f(x) függvény a̲l̲u̲l̲r̲ó̲l̲ ̲k̲o̲r̲l̲á̲t̲o̲s̲, ha megadható egy olyan M szám, hogy bármely x értékre

> f(x) > M.

Az y = f(x) függvény f̲ü̲g̲g̲v̲é̲n̲y̲ ̲f̲e̲l̲ü̲l̲r̲ő̲l̲ ̲k̲o̲r̲l̲á̲t̲o̲s̲, ha megadható egy olyan M szám, hogy bármely x értékre

> f(x) < M.

Ha egy függvény alulról és felülről is korlátos, akkor k̲o̲r̲l̲á̲t̲o̲s̲n̲a̲k̲ nevezzük. Ekkor megadható egy olyan M > 0 szám, hogy a következő egyenlőtlenség igaz: |f(x) < M|.

Alulról korlátos pl. y = x2, felülről korlátos y = -x2. Korlátos függvény pl. y = sin x. "

// forrás: fuggveny.hu/

2) A határérték tulajdonságai:

Legyen

> lim_{x->a} f(x) = F, és

> lim_{x->a} g(x) = G, azaz

f és g határértékei létezzenek az 'a' pontban, és ott legyenek F és G.

Ekkor:

a) A határérték lineáris, azaz

> lim_{x->a} (f(x)+g(x)) = lim_{x->a} f(x) + lim_{x->a} g(x) =

= F + G;

> lim_{x->a} (C*f(x)) = C * lim_{x->a} f(x) =

= C*F (minden C e R valós konstansra)

b) Szorzatot is szorzatba visz, azaz:

> lim_{x->a} (f(x)*g(x)) = lim_{x->a} f(x) * lim_{x->a} g(x) =

= F * G.

c) Hányadost hányadosba:

> lim_{x->a} (f(x)/g(x)) = lim_{x->a} f(x) / lim_{x->a} g(x) =

= F / G.

Amennyiben G nem 0.

((Itt az f(x)/g(x) nem biztos hogy a teljes számegyenesen értelmezve van, de az biztos, hogy 'a' egy kis környezetében, és az nekünk elég. Például az 1/x-nek van határértéke az a=x=1 pontban.))

3) megint a fuggveny.hu weboldalról idézve:

" Az y = f(x) függvényről akkor mondjuk, hogy h̲a̲t̲á̲r̲é̲r̲t̲é̲k̲e̲ ̲a̲z̲ ̲x̲ ̲→̲ ̲a̲ ̲e̲s̲e̲t̲é̲n̲ ̲A̲, ha az x-szel a-hoz közelítve, f(x)-nek az A-tól való különbsége tetszőleges kicsinnyé válik.

Képlettel:

> lim_{x->a} f(x) = A

(kiejtve: limesz ef iksz, ha iksz tart á-hoz egyenlő nagy á)

Hogy akármilyen kis pozitív epszilon számhoz található olyan pozitív n szám, amelyre |f(x) - A| < epszilon, valahányszor |x - a| < n.

Ha a véges értéket jelent és a határérték definíciójában csak az a-tól balra vagy csak a tőle jobbra eső x helyekre szorítkozunk, akkor b̲a̲l̲-̲,̲ ̲i̲l̲l̲.̲ ̲j̲o̲b̲b̲ ̲o̲l̲d̲a̲l̲i̲ ̲h̲a̲t̲á̲r̲é̲r̲t̲é̲k̲ről beszélünk. A bal oldali határérték jelölése: x → a - 0, ill. f(a - 0); a jobb oldali határérték jelölése: x → a + 0, ill. f(a + 0)."

((Megjegyzés: szavakkal nem igazán lehet/szerencsés megfogalmazni az epszilon-deltás kifejezést, mert beszédben az ember előrébb veszi az állítást ( f(x) közel van A-hoz ) és később mondja a feltételt ( x közel van 'a'-hoz ), míg, kvantorokkal megfogalmazni kizárólag fordított sorrendben lehet/szabad, és a definícióban a kvantorok sorrendje fontos))

4) Itt a függvény plusz és mínusz végtelenben vett határértéke a kérdés?

A függvény végtelenben vett határértéke az az A valós szám vagy +- végtelen, hogy x_n → ∞ esetén f(x_n) → A.

(Azaz tetszőleges x_n sorozatra legyen ez igaz, ahol x_n az f(x) értelmezési tartományából való, és, létezik legalább egy darab ilyen x_n, azaz a függvényhez találni tetszőlegesen nagy olyan pontot, ahol értelmezett)

(( Megjegyzés: alapvetően kétféle függvény-határérték definíció létezik, az egyik azt köti ki, hogy minden sorozatra a függvényértékek tartsanak, a másik pedig környezetekkel operál. Környezet alatt az |x-a|<n típusú feltételt kell érteni. A (3) definícióban ő ez utóbbit használja, nekem ezt nem sikerült frappánsan megfogalmaznom végtelen esetre, ezért tértem át a másikra, még ha az nem is pontosan ugyanaz, a célnak (mondani a tanárnak valami definíciót?) mindenesetre megfelel.))