Hány és milyen jegy kell 4.49 és 4.5 közti átlaghoz? (a szélsőértékek nyilván nem lehetnek, akkor egy 4-es és 5-ös elég lenne)

Nem tudom, mi volt ott a megoldás és hogy ez másmilyen-e.

Ha ugyanannyi 4-es és 5-ös lenne, akkor az átlag kereken 4.5, az sok. Valószínű olyasmi lesz, hogy kell valahány 5-ös és eggyel több 4-es. Ekkor tuti kisebb 4.5-nél, már csak a 4.49 a kérdés:

[n·5 + (n+1)·4] / [n + n+1] > 4.49

100(9n+4) > 449(2n+1)

900n + 400 > 898n + 449

2n > 49

n > 24.5

Vagyis n = 25 a legkisebb egész.

25 darab 5-ös és 26 darab 4-es elég hozzá.

http://www.gyakorikerdesek.hu/kozoktatas-tanfolyamok__hazife..

Itt van az előző.

Gondolom az a probléma vele, hogy túl hosszú és részletes, ki olvas ma már ennyit :(

Pedig elkezdtem egy sokkal jobb bizonyítást, mint az ottani (pedig az is nagyon szép. bongolo-é sajnos ebben a formájában nem megoldás, hiába egyszerű).

Tkp jó is, hogy újra felhoztad.

A feladat triviális átfogalmazása: olyan (y/x) arányt keresünk, hogy

> c/d < y/x < a/b

teljesüljön, és, a jó (x,y) pontok közül a legkisebb x koordinátájút.

(jelen esetben

> 449/100 < 229/51 < 9/2 )

Azt állítom, hogy az x-ben minimális (x,y)-ra teljesül, hogy:

> y*b = a*x - 1

> y*d = c*x + 1

azaz, hogy átszorozva mindkét irányba "éles" az egyenlőtlenség, vagyis 1-gyel teljesül.

Valaki bizonyítást erre az általánosításra, vagy, ellenpéldát?

Az még biztos, hogy:

b·y < a·x

d·y > c·x

Azonossággá kiegészítve:

b·y = a·x - 1 - α (α ∈ ℤ)

d·y = c·x + 1 + β (β ∈ ℤ)

(Az állításod szerint α=β=0 lenne...)

Mindkettőt bővítve (d-vel illetve b-vel):

b·d·y = a·d·x - d - dα

b·d·y = b·c·x + b + bβ

Vonjuk ki az elsőből a másodikat és rendezzük át:

(ad-bc)x = b+d + (bβ + dα)

x = (b+d) / (ad-bc) + valami nemnegatív

Állításod szerint a "valami nemnegatív" nevű dolog éppen 0.

Viszont nem törvényszerű, hogy (b+d) / (ad-bc) egész szám lesz, ha csak annyi a kikötés, hogy a/b illetve c/d egyszerűsített alakban vannak, valamint hogy a/b > c/d (vagyis ad-bc > 0).

a=9, b=2, c=449, d=100 esetén "véletlenül" egész szám lesz az adott tört, de ha már mondjuk d=101, akkor nem.

449/101 < y/x < 9/2

- - - - -

Még az sem igaz, hogy:

x = ⌈(b+d) / (ad-bc)⌉

mert ezzel az x-szel sem törvényszerű, hogy y egész lenne. Pl. ugyanez a példa, d=101:

x = ⌈103/11⌉ = 10

y = (9·10 - 1 - α)/2 → y=44 lehetne, ha α pont megfelelő lenne... de ez nem jó, 44/10 < 449/101

Ennek a minimális megoldása 49/11 egyébként.

(érdekes, ehhez α=0 tartozik, β pedig 9. Nem hiszem, hogy törvényszerű az α=0...)

Fail :D

Köszönöm:)

Pedig oda van írva fölé:

"Erre adható egy felső becslés; ha a két szélső érték különbsége több, mint 1, akkor biztos, hogy a két végpont között lesz 1 egész szám"