Minimum hány és milyen jegy kell 4,49 és 4,5 közti átlaghoz?

Ez matekpélda? Mert akkor az egy négyes meg egy ötös túlságosan elnagyolt válasz.

Egyébként viszont persze, egy négyes meg egy ötös.

Ha a két adottal egyenlőség megengedett, akkor triviálisan egy 4-es meg egy 5-ös elég hozzá. Ha nem megengedett, akkor legyen a jegyek átlaga S, a jegyek száma n, ekkor

4,49<S/n<4,5-nek kell teljesülnie; n-nel szorozva

4,49n<S<4,5n

Azt tudjuk, hogy S biztosan egész szám, lévén egész számok összege is egész, ezért azt kell megvizsgálni, hogy milyen n-re lesz olyan intervallum, hogy abban legalább 1 egész szám található. Erre adható egy felső becslés; ha a két szélső érték különbsége több, mint 1, akkor biztos, hogy a két végpont között lesz 1 egész szám, tehát az a kérdés, hogy milyen n-re lesz

4,5n-4,49n>1 -> 0,01n>1 -> n>100, a legkisebb n így 101, ekkor

453,49<S<454,5, ekkor S=454, ez kirakható például így: ha 101 darab 5-ösünk lenne, akkor azok összege 505 lenne, ebből kell nekünk levonnunk 51-et; ha 51 darab 5-ösből levonunk 1-et, akkor 50 darab 5-ös és 51 darab 4-es lesz, ezek átlaga 4,4950..., ami beleesik az intervallumba.

Az a kérdés, hogy ennél kisebb n-re találunk-e megfelelő számot.

Kis gondolkozás után rá lehet jönni, hogy akkor fog ez teljesülni, hogyha a kisebbik szám törtrésze (ami a tizedesvessző után áll) nagyobb, mint a nagyobb szám törtrésze, például a 3,85 és a 4,13 számok között lesz 1 egész szám (ebben az esetben a 4). Ez azért van, mert a kisebbik szám törtrésze csak akkor lehet nagyobb, ha a nagyobb szám egészrésze nagyobb, ebben az esetben biztos, hogy lesz köztük legalább 1 darab egész szám.

Vizsgáljuk meg, hogy hogyan viselkednek a törtrészek n=1,2,3,... esetén:

49, 98, 47, 96, 45, 94, ...

50, 00, 50, 00, 50, 55, ...

Ha n páros, akkor a felső határ mindig egész lesz. Mivel kiszámoltuk, hogy n>=101-re lesz a két határ különbsége legalább 1, ezért kézenfekvő, hogy ezen az intervallumon nem lesz egész szám (egyébként lenne, ha egyenlőséget megengednénk, de most nem ez a helyzet). Maradnak a páratlan n-ek:

49, 47, 45, ...

50, 50, 50, ...

Ebből kis utánaszámolás után kijön, hogy n=49-re 01-re fog végződni, n=51-re 99-re (nem tudom, hogy tanultál-e számtani sorozatot, ezért arra nem hivatkozom, ha tanultál, akkor az a kérdés, hogy a sorozat hányadik eleme lesz először negatív). Mivel előbb nem jön ki, ezért n=51 lesz a keresett számunk, ekkor

228,99<S<229,5, ekkor S=229 lesz; a fenti eljárást követve, ha 51 darab 5-ösünk lenne, akkor azok összege 255 lenne, nekünk ennél 26-tal kevesebbre van szükségünk, 26 darab 5-ösből levonva 1-et, 25 darab 5-ösünk és 26 darab 4-esünk marad, ezek átlaga 4,490196..., ez beleesik a megadott tartományba.

Tehát legalább 51 jegyre van szükségünk.

És az igaz-e, hogy amennyiben a két arányunk (a/b) és (c/d) (egyszerûsített alakra hozva), akkor éppen a keresett pontnak a koordinátáit szolgáltatja nekünk a:

> y = a/b*x - 1/b

> y = c/d*x + 1/d

egyenlet megoldása? Vagyis a legkisebb olyan x-et, hogy c/d < y/x < a/b, és y,x egészek.

Nem emlékszem arra, hogy explicit ki lett mondva így (pedig elég sokat foglalkoztunk ezzel az approximációval középsuliban, ki lehetett volna.)

A te számodra, amit találtál, mindenesetre igaz:

> 229 = 9/2 * 51 - 0.5 = 449/100 * 51 + 1/100 = 229

Na? Valaki bizonyítás vagy ellenpélda?