Mi a megoldása ennek a valószínűségszámításos feladatnak?

Már másodjára jön ez a feladat, de egyikőtök se írta le, mi az a névjegy probléma.

Megkerestem, ez az:

n ember berakja a névjegyét egy kalapba, aztán egymás után kihúzzák. Hányan húzzák ki a saját névjegyüket?

Először nézzük ennek a várható értékét:

(Lehet, hogy ezt tanultátok is, azért nem ezt kérdezi a feladat, hanem a szórást)

Legyen Xi annak az eseménynek az indikátor változója, hogy az i-edik ember a saját névjegyét húzza ki. Vagyis Xi=1, ha ez igaz, egyébként Xi=0.

Ezekkel az Xi-kkel fel tudjuk írni X értékét:

X = ΣXi

hisz azoknál lesz Xi=1, akiket össze kell számolni.

Nézzük az egyes Xi változók valószínűségét:

P(X₁=1) = 1/n, ez egyértelmű.

P(X₂=1) = ... ezt már jobban meg kell gondolni:

Ha az első ember a 2-eset húzza, akkor X₂=0. Ha viszont egy ettől különbözőt, mondjuk a k-adikat húzza, akkor a második a maradék n-1 kártya közül kihúzhatja a sajátját, aminek 1/(n-1) a valószínűsége. Ez valójában egy feltételes valószínűség, azzal a feltétellel, hogy az első ember a k-adikat húzta, aminek 1/n a valószínűsége. Bármelyiket is húzza az első a 2-es lap kivételével (ami n-1 eset), mindig 1/(n-1) a feltételes valószínűsége X₂=1-nek. A teljes valószínűség tétele szerint pedig: P(X₂=1) = Σ P(X₂=1 | Bᵢ)·P(Bᵢ) ahol a Bᵢ esemény az, hogy az első ember az i-ediket húzta, a szumma pedig 1-től n-ig megy, de nincs benne a 2.

P(X₂=1) = Σ 1/(n-1) · 1/n = (n-1)·[1/(n-1) · 1/n] = 1/n

Az a meglepő dolog jött ki, hogy a második ember is 1/n valószínűséggel húzza ki a sajátját!

Most nem számolom tovább, de a többire is mind 1/n jön ki:

P(Xi=1) = 1/n

Xi várható értéke:

E(Xi) = 0·P(Xi=0) + 1·P(Xi=1) = P(Xi=1) = 1/n

X várható értéke:

E(X) = E( ΣXi ) = Σ E(Xi) = n·1/n = 1

Ez is elég meglepő: n-től függetlenül átlagosan mindig 1 ember fogja a sajátját húzni.

----

Most jön az igazi kérdés:

σX = ?

σ²X = E(X²) - (EX)² = E(X²) - 1

E(X²) = E( (ΣXi)² ) = E( Σ Xi² + 2·Σ Xi·Xj )

Az első szumma 1-től n-ig megy, a második pedig az összes (n alatt 2) darab i,j párosra (i≠j), de itt nem tudom aláírni a Σ alá ezeket. Lentebb is képzeld oda ezeket a szumma alá...

Kibontva: (vagyis a várható érték 'bemegy' a szumma mögé)

E(X²) = Σ E(Xi²) + 2·Σ E(Xi·Xj)

E(Xi²) = 1·P(Xi² = 1) = P(Xi = 1) = 1/n

Σ E(Xi²) = 1

E(Xi·Xj) = 1·P(Xi=1 és Xj=1) = P(Xi=1 | Xj=1) · P(Xj=1) = ...

Na most P(Xi=1 | Xj=1) értéke: ha Xj=1, vagyis a j-edik a sajátját húzta, akkor az i-edik a maradék n-1 kártyából húzhat, amiben a sajátja is benne van, ennek 1/(n-1) a valószínűsége.

P(Xj=1) természetesen most is 1/n

Vagyis:

2·E(Xi·Xj) = 2/[n·(n-1)]

Ilyenből van (n alatt 2) darab a szummában, ezért ezek szummája szintén 1.

σ²X = E(X²) - 1 = (1 + 1) - 1 = 1