Matek házi logaritmikus egyenletrendszer?

lg(x+y)=lgx^2

lgx=lg2(y-1)

lg mentes alak:

x+y=x^2

x=2(y-1)

innen be tudod fejezni?

Először is, kikötéssel érdemes kezdeni:

x>0

y-1>0 -> y>1

x+y>0 -> x>-y, de mivel y>1, ezért x>-1

A második egyenletben használjuk a logaritmus azonosságát:

lg(x)=lg(2*(y-1)), majd a logaritmusfüggvény szigorú monotonitására hivatkozva "eltűnik a logaritmus:

x>2(y-1)=2y-2, ezt írjuk be az első egyenletben x helyére:

lg(2y-2+y)=2*lg(2y-2)

Összevonás, majd újabb azonossághasználat után:

lg(3y-2)=lg((2y-2)^2)

A logaritmus... miatt

3y-2=(2y-2)^2

Zárójel kibontva, majd 0-ra redukálva az egyik oldal:

0=4y^2-11y+6

Megoldás: y1=2, y2=3/4

Mivel az y>1 kikötésnek y2 nem felel meg, ezért azzal nem foglalkozunk. Marad y1, ekkor x1=2y1-2=2*2-2=2, tehát x=2

Ezzel 1 megoldás van: (x;y)=(2;2).

Az ellenőrzés rád marad.