Logaritmikus egyenletrendszer!? Elakadtam

Mindkét egyenlet logaritmusát véve

elsőből: lg(x*y)=3, azaz lg(x)+lg(y)=3

másodikból: lg(y)*lg(x)=2

p=lg(x) és q=lg(y) jelöléssel: p+q=3 és p*q=2. Viéta formulák miatt így p,q gyöke az V^2-3*V+2=0 egyenletnek, aminek V=1,2 a megoldása. Innen (x,y)=(10,100) vagy fordítva.

Nézzük az y^lgx=100 egyenletet!

1) vegyük mindkét oldal y alapú logaritmusát: log(y) [y^lgx] = log(y) [x] = log(y) [100]

2) log(y) [100]-at írjuk át 10-es alapra

log(y) [100] = lg100 / lgy, tehát

lgx = lg100 / lgy

3) szorozzunk át lgy-nal: lgx * lgy = lg100 = 2

Most nézzük az első egyenletet! xy = 1000

1) vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát

lg[xy] = lg1000 = 3

2) logaritmus azonosságait alkalmazva

lgx + lgy = 3

Vezessünk be - pusztán az egyszerűség kedvéért - helyettesítő ismeretleneket, pl. a = lgx és b = lgy

Egyenletrendszer: a + b = 3; ab = 2

Az egyenletrendszert megoldva (ezt nem vezetném le):

a1 = 2, azaz lgx1 = 2, innen x1 = 100 és y1 = 10

a2 = 1, azaz lgx2 = 1, innen x2 = 10 és y2 = 100

Na, hát akkor az első egyenletre a hatványozás azonosságait kell alkalmazni, azonos kitevőjű hatványokról van szó, ezért

(3*5)^x = 75

15^x = 75

x = log(15) [75] tizenötös alapú logaritmus hetvenöt (ez kerekítve 1,5943)

ezt beírva a másodikba:

3^y * 5^(log(15) [75]) = 45

5^(log(15) [75]) kerekített értéke: 13,01305, így ezzel leosztva

3^y = 3,45806667...

y = log(3) [3,45806667] kerekítve 1,1293