Ha egy n létszámú r véletlenül kiválasztott diáknak dolgozatot kell írni, mennyi annak a valószínűsége, hogy a legrosszabb diáknak is dolgozatot kell írni, feltéve, hogy a legjobb diák is ír dolgozatot?

Ehhez Bayes nem kell, csak sima feltételes valószínűség.

J esemény: a legjobb ír dolgozatot

R esemény: a legrosszabb ír dolgozatot

P(R | J) a kérdés

P(R | J) = P(R ∩ J) / P(J)

Annak a valószínűsége, hogy egy adott diák (bárki is az) ír dolgozatot, az ránézésre r/n. Hisz annyi az esélye annak, hogy az adott diák benne van a kiválasztott r diák között. De számoljuk ki "hivatalosan" is:

Összes eset száma: n közül kell kiválasztani r-et, az (n alatt r) módon mehet.

Kedvező esetek száma: Az a kedvező eset, ha az X diák benne van az r diák között. Ez azt jelenti, hogy a többi r-1 diákot n-1 közül választjuk ki, ezt (n-1 alatt r-1) féleképpen lehet megtenni.

A valószínűség:

p₁ = (n-1 alatt r-1) / (n alatt r) = ( (n-1)! / ((r-1)!·(n-1-r+1)!) ) / ( n! / (r!·(n-r)!) ) =

= (n-1)!/n! · r!·(n-r)! / ((r-1)! · (n-r)!) = 1/n · r = r/n

Kijött. Szóval tudjuk, hogy

P(J) = r/n

Mennyi P(R ∩ J)? Ez pedig azt jelenti, hogy az R és J események is bekövetkeznek, vagyis a legjobb és a legrosszabb

diák is benne van a kiválasztott r diák között.

Az összes eset száma most is ugyanannyi.

A kedvező esetek száma: két diák benne van az r-ben, a többi r-2 diák n-2 közül választható ki: (n-2 alatt r-2) az esetek száma.

p₂ = (n-2 alatt r-2) / (n alatt r)

Ennek a kifejtését rád bízom, ugyanúgy megy, mint az előzőnél is.

P(R | J) = p₂ / p₁ = ... ezt is számold ki