Hogyan kell ezeket kiszámítani? (valószínűségszámítás) vol 2
Sziasztok! Itt vannak azok a feladatok, amelyeket a 2-es feladatsorról nem tudtam megcsinálni. Örülnék, ha tudnátok segíteni benne.
1) Egy szabályos kockát 12-szer feldobtunk. Mennyi a valószínűsége, hogy van olyan szám, amit pontosan egyszer dobtunk?
2) Aladár és Béla pingpongoznak. Minden labdamenetet, egymástól függetlenül, 1/3 valószínűséggel Aladár, 2/3 valószínűséggel pedig Béla nyer meg. A jelenlegi állás 10:9 Béla javára. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a meccset mégis Aladár nyeri meg? (Az nyer, akinek sikerül legalább két pontos előny mellett legalább 11 pontot szerezni.)
3) Eszter és Anna három érmével játszanak. Felváltva dobják fel a náluk lévő összes érmét, és a fejre esett érméket átadják társuknak. Az nyer, akinek először elfogynak az érméi. Mekkora valószínűséggel nyer Eszter, ha eredetileg két érme van nála, és ő kezd?
4) Egy televíziós játékban 4 ajtó közül választhat a játékos, az egyik mögé ajándék van rejtve. A játékos választása után a műsorvezető kinyit egy másik ajtót és mutatja, hogy ott nincs ajándék. Felajánlja a játékosnak, hogy még változtathat. A játékos vagy változtat vagy nem. Ezután a játékvezető kinyit még egy ajtót és megint mutatja, hogy ott nincs ajándék. Újfent felajánlja a játékosnak, hogy még változtathat. Mi a játékos optimális stratégiája?
5) Egy játékos annyiszor lőhet egy léggömbre, ahány 6-ost dobott egymás után egy dobókockával (például ha elsőre 6-ost, másodikra 2-est dob, akkor egyszer lőhet). Mennyi a valószínűsége, hogy szétlövi a léggömböt, ha egy lövésnél 1/3 valószínűséggel talál?
6) A moziban n hely van, és n ember váltott jegyet. Az első néző bejön, és véletlenszerűen helyet foglal. A további nézők mindegyike a saját helyére ül le, kivéve, ha az már foglalt - ekkor véletlenszerűen választanak a szabad helyek közül. Mekkora az esélye, hogy az utolsónak érkező néző a saját helyére fog ülni?
válasza:1) A szita-formulára hajtunk. Legyen az A_i az az esemény, hogy az 1. szám pontosan egyszer jött ki.
Ezek metszetét nem nehéz kiszámolni, utána csak be kell lapátolni a képletbe.
2) [link]
témakör. Illetve azt használjuk még, hogy diszjunkt események (például A nyer vagy B) uniója a valószínűségeik összege.
Ez alapján:
P(A nyer) = 1/3*P(10-10 lesz, és innen nyer A)
P(10-10 -ból A nyer) meghatározása pedig egy 5 állapotú Markov-lánccal történik:
(00) (10) (01) (20) (02) az állapotok, és 1/3 2/3 arányban mennek a nyilak értelemszerűen.
Blabla. Felrajzolod a láncot, és ezt a rekurziót írod fel végül:
P(00 és A nyer) = 1/3*1/3 + 1/3*2/3* P(00 és A nyer)
amely egy 1 fokú lineáris egyenlet, megoldva p=1/7 az esélye annak, hogy A 10-10-ből nyerjen.
Tehát összesen p=1/3*1/7 esélye van.
3) ugyanígy, felrajzolod az állapotokat, véges sok állapotod lesz, kapsz egy lineáris egyenletrendszert.
6) legyen p(n) a keresett valószínűség.
Ha az 1-ső ember a saját helyére ül le, akkor az utolsó is. Ha az első egyén a k. helyre ül le, akkor a k. embertől kezdve éppen ez a játék fog bekövetkezni, tehát p(n-k+1) a valószínűsége, hogy az utolsó a saját helyére ül.
p(1) = 1
2 -> 1/2
3 -> 1/3 * 1 + 1/3 * p(3-2+1) + 1/3*0 = 1/2
4 -> 1/4*1 + 1/4*1/2 + 1/4*1/2 + 1/4*0 = 1/2
k -> 1/k*(1+(k-2)*1/2) = 1/2
(valószínűleg ez az 1/2 kijöhet egyszerűbben is)
válasza:5) Lehet hogy ezt is lehet Markov-lánccal, ha mindig lövünk, miután 6-ost dobunk?
Úgy képzeljük, hogy olyan 3 oldalú kockánk van, amelyikben van egy 5/6-os oldal, ha ez jön ki vesztünk, van egy 1/18-as oldal, ha ez jön ki, nyerünk, és van egy 1/9es oldal, ekkor újra dobunk.
Világos, hogy ezt az új játékot játszva ugyanannyi az esélyünk nyerni (?), mint a te játékodban.
Ebben a játékban pedig a nyerés p esélye:
p = 1/18 + 1/9*p
p = 1/16
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!