Bizonyítsuk, hogy 8 osztója az n^2-1-nek, ha az n páratlan?

Először írjuk át a feladatot; legyen n=2k-1, ez minden pozitív k-ra páratlant ad. Ekkor az a kérdés, hogy tetszőleges pozitív k-ra a (2k-1)^2-1 osztható-e 8-cal. Ha k=1, akkor (2*1-1)^2-1=0, 8|0, igaz. Tegyük fel, hogy k-ig tudjuk, nézzük meg, hogy k+1-re mi a helyzet:

(2*(k+1)-1)^2-1=(2k+1)^2-1=4k^2+4k+1-1=4k^2+4k=4k*(k+1)

k paritásától függően vagy k vagy k+1 (de pontosan csak az egyik) osztható 2-vel. Ezek szerint a szorzat felbontható 4*2*valami=8*valami alakban. Márpedig 8|8*valami, tehát az eredeti állítás is igaz lesz; 8|(2k-1)^2-1, vagyis 8|n^2-1.

A másik lehetőség, hogy kihasználjuk az oszthatóságot; egy szám akkor osztható 8-cal, hogyha az utolsó 3 számjegyéből alkotott háromjegyű szám osztható 8-cal. Nézzük végig:

n=1: 1^1-1=0, 8|0

n=3: 3^2-1=8, 8|8

n=5: 5^2-1=24, 8|24

.

.

.

Ezt egészen n=999-ig csináljuk:

n=999: 999^2-1=99800, 8|99800, ezután

n=1001: 1001^2-1=1002000, 8|1002000

n=1003: 1003^2-1=1006008, 8|1006008

Látható, hogy az utolsó 3 számjegy végződése ugyanúgy alakul, mint n=1,2,3,... esetén, tehát egy ciklust kapunk, ezt azt jelenti, hogy ha n=999-ig beláttuk, akkor az egészre beláttuk (persze ez egy igencsak hosszadalmas folyamat).