Permutáció, variáció, kombináció?

Permutáció: sorba rendezés.

Pl. Van az osztályban 23 gyerek, hányféleképpen állhatnak sorba?

Megoldás: 23!

Első helyre állhat 23, másodikra 22, aztán 21, stb,

23·22·21·...·2·1 = 23!

Van ismétléses permutáció is: sorba rendezés akkor, ha vannak nem megkülönböztethető elemek:

Pl. Van 3 fekete ceruza, 4 kék toll és 2 radír, amiket magunk előtt sorba akarunk rakni.

Összesen van tehát 9 tárgy.

Gondolatban sorszámozzuk meg mindet, ettől meg tudjuk különböztetni. Ekkor 9! módon tudnánk sorba rakni (permutálni).

Viszont a 3 ceruza egymás közötti sorba rendezései (amiből 3! van) mind ugyanazt az eredményt adják, ugyanígy a tollakból 4!, a radírból 2! bármelyikét is választjuk, ugyanaz lesz a vége, ezért ezek szorzatával osztani kell:

9! / (3!·4!·2!)

Variáció: Kétféle is van:

Ismétlés nélküli variáció: Sok elemből kiválasztunk keveset úgy, hogy a sorrend számít.

Pl. Egy versenyen 15-en indulnak, hányféle nyertes lehet a dobogón?

Vagyis 15-ből 3-at kell kiválasztani úgy, hogy a sorrend számít.

Megoldás: 15!/(15-3)!

Első helyre kerülhet 15, másodikra 14, harmadikra 13.

15·14·13, ami ugyanannyi, mint 15!/12!

Ismétléses variáció: Néhány elemből többször is kiválasztunk egyet, úgy, hogy mindig ugyanazokból választunk (szóval olyasmi, mintha kiválasztás után visszatennénk)

Pl. Van 5 színes ceruzánk, hányféleképpen tudunk kiszínezni egy 10 alakból álló rajzot, ha bárhogy színezhetünk (nem kell szépnek lennie)?

Megoldás: 5¹⁰

Első alakot kiszínezhetjük bármelyik ceruzával az 5 közül, a másodikat is 5-félével, harmadikat is, ... tizediket is 5-félével

5·5·5·...·5 = 5¹⁰

Kombináció: Ebből is kétféle van:

Ismétlés nélküli kombináció: Sok elemből kiválasztunk keveset úgy, hogy a sorrend NEM számít.

Vagyis a kombináció és a variáció között az egyetlen különbség az, hogy számít-e a sorrend.

Pl. az osztályban van 16 fiú, hányféleképpen lehet kiválasztani 4-et, akik rendet tesznek a teremben?

Amikor kiválasztjuk őket, akkor még egymás után mondjuk a neveket, de valójában nem számít ez, csak az, hogy melyik 4 fiú lett kiválasztva.

Megoldás: (16 alatt 4) = 16! / ( (16-4)! · 4! )

Magyarázat: Ha számítana a sorrend, akkor 16!/(16-4)! lenne a megoldás. Viszont a 4 fiú sorrendje (ami 4!) mindegy melyik, ugyanaz lesz a kiválasztott 4 gyerek, vagyis az előzőt még osztani kell 4!-sal.

Az utolsót nem tudom, hogy tanultátok-e:

Ismétléses kombináció: Sok elemből választunk úgy, hogy a sorrend nem számít, és többször is választhatjuk ugyanazt (mintha választás után visszaraknánk).

Pl. Szeretnénk 3 süteményt enni, és van a boltban 5-féle, amiből választhatunk (akár többet is ugyanabból, van sok).

Megoldás: (5+3-1 alatt 3)

Magyarázat: (kicsit hosszú... alul van a lényeg, a Lényeg szó után)

Képzeljük úgy, hogy a süteményeket egy olyan dobozban akarjuk elvinni, amiben 5 fakk van. A fakkok között van 4 elválasztó fal. Mindegyik fakknak van egy neve, csak az a fajta süti mehet a fakkba, amilyen a neve.

Tehát mondjuk ilyenek lehetnek, amiket elviszünk:

a a | - | c | - | -

vagyis elvittünk két a nevű sütit és egy c nevűt, a többiből nem vettünk semmit (azok helyén van mínusz.)

Jobb egyébként így írni:

a a |  | c |  |

Na most ezeket a sütiket jelképező a, b, c stb betűket és a falakat jelképező | jeleket tekinthetjük olyan tárgyaknak, amikből választani akarunk. Van összesen 7 tárgy:

* * * * * * *

amiből ki akarunk választani 3-at, hogy azok legyenek a sütik:

x x * * x * *

A sütik nevét még nem tudjuk, x, csak miután megvannak a falak is, akkor derül ki, hogy hol vannak a fakkok és mi a nevük. A fal pedig minden más, amit eddig nem választottunk ki:

a a |  | c |  |

Lényeg:

A sütik (3) és a falak (5-1) száma összesen 5+3-1, ebből választunk ki 3 süti-helyet egyszerű kombinációval, ezt (5+3-1 alatt 3) módon tehetjük meg.