Egy hegyes szögű háromszög két magasság vonala négy részre bont. Tudjuk hogy ebből a négyből 2-2 nek egyenlő a területe. Mekkora a háromszög szögei?

Szabályos háromszög, szóval 60°.

Rajzolj fel egy tetszőleges ABC háromszöget két magasságával, amik az A és B csúcsból indulnak..

A 4 részből lesz 2 derékszögű háromszög (az egyik csúcsuk az A illetve a B, nevezzük ezért a és b-nek a háromszögeket), 1 négyszög (a C csúcsnál, nevezzük c-nek), és 1 tompaszögű háromszög (d).

Az a és b területe egyenlő, valamint c és d területe is egyenlő.

Vagyis a+c = b+d

Az A-ból induló magasságvonal két részre bontja ABC-t, amik az a+c valamint b+d területek. Ha pedig azok egyenlőek, akkor a háromszög egyenlő szárú!

Mivel a és b mindkettő derékszögű, valamint a középpontnál lévő szögeik egyformák (csúcsszögek), ezért egybevágóak kell legyenek. Ami azt jelenti, hogy az ABC nem csak egyenlő szárú, hanem szabályos is.

Nézd meg itt is:

[link]

Első: erre hogy jutottál? "a+c = b+d "

A feladat csak annyit említ, hogy 2-2 területe egyenlő, vagyis (pl) a=c és b=d

Félreértettem?

Előre is köszi! :)

Nem értetted félre, azt az esetet is meg kell vizsgálni, ha két szomszédos terület lenne egyenlő, de nem akartam belebonyolódni.

Most viszont lett egy jó kis Geogebrás ábránk :) kösz, #2, használjuk azokat a jelöléseket:

Tehát mondjuk T(AFC) = T(FDC)

Ez pontosan akkor van, ha AF = FD, vagyis F felezi az AD szakaszt, hisz az ADC háromszög területét kell feleznünk.

Viszont akkor T(AFE) = T(FDE) < T(FDBE), vagyis a másik két rész területe sose lehet egyforma.

Hasonlóan lehet megmutatni mindegyik esetet, amikor szomszédos részek lennének egyforma területűek, vagyis csak akkor lehetnek egyformák a területek, ha egymással szemközti részek az egyformák.