Az ABC háromszög oldalai AB=6, AC=8 BC=9. A háromszögbe írható kör középpontján át párhuzamost húzunk BC oldallal, ez M és N pontban metszi az AB és AC oldalt. Mekkora az AMN háromszög kerülete?

Nem tudom, hanyadikos a kérdező, mert ez egy egyszerű arányosságokkal megoldható szép feladat.

Bármelyik oldallal párhuzamos egyenessel a feladat feltétele felosztva a kiinduló háromszöget, a keletkező kis háromszög kerülete (K') a másik két oldal összege.

Pl. a 'c' oldallal párhuzamosan felosztva

K' = a + b

a megoldás.

Én is jó sokat küszködtem vele, de megvan:

[link]

Most már még kíváncsibb vagyok az első válaszoló indoklására.

Elemi módszerekkel ki lehet számolni, és szép pontosan ki is jönnek; használva az előbbi ábrát, a B és C csúcsoknál található szögek szinusza és koszinusza kiszámolható a koszinusztétellel, és a sin(x)^2+cos(x)^2=1 azonosság felhasználásával (elég csak a szinuszuk és a koszinuszuk, mivel a későbbiekben olyan egyenleteket írunk fel, melyek csak azokat használják).

Ha megvan az egyik szög szinusza, akkor a szinuszos területképlettel kiszámolható az ABC háromszög területe (azt is érdemes gyökös alakban hagyni, szépen ki fog esni), majd a T=r*s, ahol s a félkerület, képletet használva kiszámolható a beírt kör sugara (ha ezt esetleg nem tudjuk, körülményesen, de kiszámolható a sugár, de jobb, ha ezt tudjuk).

Ezután kihasználjuk azt, hogy a beírt kör sugara merőleges az oldalakra. Ha behúzzuk az AC és AB oldalakra merőleges sugarakat, akkor két derékszögű háromszöget kapunk, ahol az átfogók összege pont az NM szakasz hossza lesz. A szögekre fel tudjuk írni azok szinuszát, ezzel meghatározva az átfogók hosszát (mindkettő racionális lesz), tehát az NM szakasz hosszát is (szintén racionális).

Innen pedig már könnyű dolgunk van; az NM szakaszt elosztjuk a 9 cm-es oldallal, ekkor megkapjuk a kis és a nagy háromszögek hasonlóságát, ezzel beszorozva a nagy háromszög kerületét, megkapjuk a kis háromszög kerületét.

Lehet, hogy van egyszerűbb számítási mód is, én ezt találtam, és a T=r*s képletet leszámítva csak olyan eszközöket használtam, amit mindenképp tanítanak középsuliban. Bár lehet, hogy általános iskolás feladat, akkor viszont valószínű, hogy van egyszerűbb megoldás is.

Egy háromszöget valamelyik oldalával párhuzamos egyenessel felosztva keletkezik egy, az eredetihez hasonló háromszög.

Ez utóbbi adatainak számításához csak a két háromszög közti arányossági tényezőre van szükségünk.

Ezt a legegyszerűbben a párhuzamos oldalak arányával kaphatjuk meg.

Legyen

c - az eredeti háromszög kiválasztott oldala

c' - a kis háromszög eredetivel párhuzamos oldala

m(c) - az eredeti háromszög kiválasztott oldalhoz tartozó magassága

r - az eredeti háromszög beírható körének sugara

q - az arányossági tényező

A hasonló háromszögekben írható, hogy

q = c'/c = m(c)'/m(c)

mivel

m(c)' = m(c) - r

ezért

q = [m(c) - r]/m(c)

Tagonként osztva a jobb oldalon

q = 1 - r/m(c)

Az r/m(c) hányados meghatározásához elővesszük a háromszög két területképletét

Egyrészt

T = r*s

másrészt

T = c*m(c)/2

ahol

s - az eredeti háromszög fél kerülete

Az elsőből

r = T/s

a másodikból

m(c) = 2T/c

Ezekkel a keresett hányados

r/m(c) = (T/s)/(2T/c)

egyszerűsítés után

r/m(c) = c/2s = c/K

így az arányossági tényező

q = 1 - c/K

ill. összevonva

q = (K - c)/K

==========

Ennek ismeretében jöhet a feladat megoldása

A kis háromszög kerülete:

K' = a' + b' + c'

mivel

a' = a*q

b' = b*q

c' = c*q

ezért

K' = q(a + b + c)

K' = q*K

q értékét behelyettesítve

K' = [(K - c)/K]*K

egyszerűsítve

K' = K - c

=======

Általánosítva a megoldást

K'(i) = K - i

ahol

i € (a, b, c)

**********************

Nagyon tetszik Száldobágyi mester geometrikus módszere, az algebrai megközelítésem csak kiegészíti a megoldás palettáját. Remélem, rajz nélkül is érthető a levezetés.

DeeDee

**********

Mégis csináltam egy rajzot:

[link]

DeeDee

*********

Második vagyok. Köszi a levezetéseket :-)

Igazából itt látszik, hogy a geometriában mennyire fontos a jó ábra, mert a hármas válaszbeli ábrából már rögtön látszik, hiszen ha CNO háromszög egyenlő szárú, akkor NO=NC és ugyanígy MB=MO. Vagyis a 6 és 8 hosszú oldalak 'alját' 'behajtogatom' az O felé. És így már meg is van, hogy a kerület a 6 és 8 oldalak összege :-) Talán mindenféle levezetés nélkül ez a legegyszerűbb.

Egyébként végül nekem is összejött egy 7-es válaszhoz hasonló gondolatmenettel:

Ha megvan az alfa szög szinusza, abból kiszámítható a terület. A T=(a*ma)/2 képletből visszaszámolható a magasság, a T=r*s képletből pedig az r. Az m/(m-r) pedig megadja az arányossági tényezőt.

Arra azért kíváncsi lennék, hogy ez hanyadik osztályos példa volt, vagy hogy melyik témakörnél, mert abból már kiderül hogy melyik megközelítést "várták".