Egy trapéz alapjai 86 m, illetve 28 m, szárai pedig 35,4 m illetve 57,3 m hosszúak. Mekkorák a szögei és a területe?

Az egyik szárát eltolod úgy a másik csúcsába, hogy a szakasz egy háromszögre és egy paralelogrammára bontsa. A háromszögnek ismerni fogod mindhárom oldalát (ezekből 2 megegyezik a szárakkal, a harmadik az alapok különbsége), erre a háromszögre fel tudod írni a koszinusztételt (vagy egy kétismeretlenes másodfokú egyenletrendszert írsz fel a háromszög magasságára két Pitagorasz-tétel segítségével), és meghatározod a szögeket vele. Ha ezek megvannak, akkor a trapéz összes szögét ki tudod velük sakkozni.

A területhez kiszámolod a háromszög magasságát, ami egyben a trapéznak is magassága, és a területképlettel ki is tudod számolni.

Egy háromszög oldalai (86-28)m, 35,4 m illetve 57,3 m hosszúak. Mekkorák a szögei és a területe?

Akkor állítsunk magasságot az 58 cm-es oldalra, ez legyen m. Az m magasság két részre osztja az 58 cm-es szakaszt, legyen az egyik hossza x, a másik hossza 58-x.

Ekkor két derékszögű háromszöget kapunk; x;m;35,4 és (58-x);m;57,3 (vagy fordítva, attól függően, hogy hova írtad az x-et, de az mindegy), ahol az utolsó hossza az átfogó. Erre a két derékszögű háromszöget felírjuk Pitagorasz-tételét:

35,4^2=m^2+x^2 }

57,3^2=m^2+(58-x)^2 }

Mivel ezeknek egyszerre kell teljesülniük, ezért egyenletrendszerbe foglaljuk őket. Ha kivonjuk egymásból az egyenleteket (megint mindegy, melyikből melyiket, én az alsóból a felsőt fogom), akkor m^2 kiesik, így ezt az egyenletet kapjuk:

57,3^2-35,4^2=(58-x)^2-x^2

Ezt az egyenletet egyszerű elemi módszerekkel meg tudjuk oldani:

3283,29-1253,16=3364-116x+x^2-x^2

2030,13=3364-116x

116x=1333,87

x=1333,87/116=133387/11600 cm, ez a pontos eredmény (ahol a számláló és a nevező is egész, és egymáshoz relatív prímek), ha szeretnénk, lehet kerekíteni; x=~11,5 cm, bár mivel nem akarunk olyan ódenagyon pontos eredményt kapni, elég a kerekítés is.

Ha nem volt érhető, miért lehetett kivonni egymásból az egyenleteket, nézzük másik szemszögből; rendezzük mindkét egyenletet m^2-re:

35,4^2-x^2=m^2 }

57,3^2-(58-x)^2=m^2 }

Mivel két kifejezést is tudunk, melyek m^2-tel egyenlőek, ezért azok is egyenlőek egymással (vagy másként: az ekvivalencia-reláció elve miatt)

35,4^2-x^2=57,3^2-(58-x)^2

Ha ezt megfelelően rendezzük, akkor a fentit megkapjuk.

Most már tudjuk, hogy x=11,5, már csak az m kell; valamelyik egyenletbe beírjuk x helyére, én az elsőbe fogom:

35,4^2=m^2+11,5^2

1253,16=m^2+132,25

1120,91=m^2

~33,48=m

Az 58 cm-es oldal másik része így 58-11,5=46,5 cm hosszú.

Most, hogy mindkét derékszögű háromszög minden oldalát tudjuk, a szögeiket is ki tudjuk számolni; legyen a 35,4 cm-es és 11,5 cm-es oldalak hajlásszöge Ł, ekkor felírható az Ł szög koszinusza:

cos(Ł)=11,5/35,4, erre Ł=~71,043° adódik.

Az 57,3 cm-es és 46,5 cm-es oldalak hajlásszöge legyen ß, ekkor ismét a szög koszinuszával számolva:

cos(ß)=46,5/57,3, erre ß=~35,755° eredményt kapjuk.

A háromszög harmadik szöge: 180°-35,755°-71,043°=73,202°.

Remélem, hogy így már minden adott lesz, hogy a feladatot be tudd fejezni.

Még valami eszembe jutott; ennél a háromszögnél feltettük, hogy az eredeti háromszög hegyesszögű; ha tompaszögű lett volna, akkor ezzel a számítással negatív x-et kaptunk volna (vagy 58-x lenne negatív, vagyis x több, mint 58), ebből derült volna ki, hogy nem lehet hegyesszögű. Ebben az esetben a befogók hossza x és 58+x lett volna.

Ha pedig x=0 vagy x=58-at, akkor derékszögű lett volna a háromszög, de ezt egyértelműen ki lehet zárni úgy, hogy a háromszögre felírjuk a Pitagorasz-tételt, és látjuk, hogy nem teljesül, vagy ha igen, akkor nem kell ezt végigszámolni.