Bizonyitsuk be, hogy ha a és b egész számok, és 5| 2a+3b, akkor 5| 16a+9b?

Ha 2a+3b-t megszorzod 3-mal, majd hozzáadsz 10a-t, akkor 16a+9b-t kapsz. 3*(2a+3b) osztható 5-tel, mivel 2a+3b osztható 5-tel a feltétel szerint, 10a pedig osztható 5-tel, mivel 5|10. Ha egy összeg minden tagja osztható 5-tel, akkor az összeg is, így 3*(2a+3b)+10a=16a+9b is.

Én mondjuk nyolccal szoroznám a 2a+3b-t akkor 16a+24b lesz belőle ebből 15b-t kell levonni a 16a+9b-hez, természetesen ugyanaz de nekem az a-k azonos mennyiségre hozása jutott előbb eszembe mint a b-ké.

Hopp, hát nem látok a szememtől: 2+3 osztható 5-tel, akkor hát 2a+3a is osztható öttel, akkor viszont 3(b-a) is osztható öttel és mivel 3 relatív prím 5-höz (mivel mindkettő prím...) ezért b-a osztja 5-t. Rögvest következik hogy 5|Xa+Yb ahol 5|X+Y -t mert (Xa+Ya)+Y(b-a)=Xa+Yb. 16+9 pedig 25 lévén osztható öttel. Általánosítva bizonyítottuk :P