Hogyan kell megoldani az ilyen típusú matematika feladatokat?

4a+3b<=5*gyök(a^2+b^2)

Triviális, hogy ha a bal oldal negatív vagy 0, akkor az egyenlőtlenség fennáll, mivel a jobb oldal minden valós a;b-re legalább 0.

Ha a bal oldal pozitív, akkor emeljük négyzetre mindkét oldalt:

16a^2+24ab+9b^2<=25a^2+25b^2, redukáljuk a bal oldalt 0-ra:

0<=9a^2-24ab+16b^2, ez pont egy teljes négyzet:

0<=(3a-4b)^2

Erről pedig már tényleg nem nehéz belátni, hogy igaz. Egyenlőség akkor van, ha 3a-4b=0, ha a=0, akkor b=0, egyébként a/b=4/3, vagyis ha a két szám aránya a:b=4:3.

Bár a négyzetre-emeléssel vigyázni kell (mert ha negatív a bal oldal, abból is pozitívat csinál), emeljünk négyzetre:

14a² + 24ab + 9b² ≤ 25a² + 25b²

Vonjunk össze:

0 ≤ 9a² - 24ab + 16b²

Most vegyük észre, hogy mázlink van, a jobb oldalból lehet négyzetet csinálni:

0 ≤ (3a - 4b)²

Ez pedig mindig teljesül, mert a négyzet nem lehet negatív. Kész.

Egyenlőség akkor teljesül, ha ... rád bízom.

A b) feladattal is lehet valami hasonlót csinálni, próbáld meg.