Két pozitív szám összege 6, köbeik összege 72. Mennyi ezen két szám szorzata?

I. a+b=6

II. a^3+b^3=72

Két egyenlet, két ismeretlen, kifejezed az egyik egyenletből "a"-t behelyettesíted a másik egyenletbe.

Vagy józan paraszti ész => próbálgatás

1+5=6

1^3+5^3=126

Ez nem nyert

2+4=6

2^3+4^3=72

Bingó

a=(6-b)

helyettesítéssel egy másodfokú egyenletet kapsz b-re:

> b^3+(6-b)^3=72

(ebből a harmadfokú tag kiesik)

ennek megoldásai a 2 és 4, (több nincs), mindkettő pozitív, tehát 'b' lehet 2 és 4, ennek megfelelően 'a' lehet 4 és 2.

Az első válaszadó válasza sajnos 0 pontot ér, ha így csinálja, akkor minimum 3 számpárt kellett volna keresnie.

Teljesen jó, ha megkeresed a két számot és összeszorzod őket, de nincs rá semmi szükség. Ez a feladat arra próbál rávezetni, hogy kifejezésekkel dolgozz, ne konkrét számokkal.

72=a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)=6(a^2+b^2-ab), tehát 12=(a^2+b^2-ab)

36=6^2=(a+b)^2=(a^2+b^2+2ab)

36-12=24=3ab

ab=8

Esetleg a és b kiszámítása nélkül:

a^3 + b^3 = (a+b)*(a^2-ab+b^2) =

=(a+b) * ((a+b)^2 - 3ab).

Ide behelyettesítve:

72 = 6 * (36-3ab),

ezt megoldva

36-3ab = 12,

ab = 8 .

Az ilyen feladatoknál az az "elegáns" megoldás, hogy a számokat nem határozzuk meg pontosan, lévén csak a szorzatuk a kérdés. Írjuk fel a két egyenletet az előttem szólók szerint:

I. a+b=6 }

II. a^3+b^3=72 }

Osszuk el a II. egyenletet az I.-vel, ekkor az azonosság alapján a bal oldalon a^2-ab+b^2 lesz, jobb oldalon pedig 12:

III. a^2-ab+b^2=12

Térjünk vissza egy pillanatra az I. egyenletre; ha négyzetre emeljük mindkét oldalát, ezt kapjuk: a^2+2ab+b^2=36, tehát a^2+b^2=36-2ab, ezt írjuk be a III.-ban a^2+b^2 helyére:

36-2ab-ab=12,

24=3ab, erre

8=ab adódik, és ezt kerestük.

Ha konkrétan a számokra vagyunk kíváncsiak, akkor a fenti eljárást kell követni.