Hány olyan háromjegyű szám van a tizes számrendszerben, amelyre igaz, hogy a szám és a számjegyei sorrendjének megfordításával kapott szám összege 272?

Háromjegyű kell legyen a szám, mert két kétjegyű összege nem lehet több 200-nál.

Mondjuk abc a szám, annak az értéke 100a + 10b + c

A fordítottja cba: 100c + 10b + a

100a + 10b + c + 100c + 10b + a = 272

100·(a+c) + 10·(2b) + (a+c) = 272

(A zárójelbe írt dolgok nem feltétlenül 2,7,2 értéket vesznek fel, pl. 2b lehet nagyobb 10-nél, és akkor az első számjegyhez adódik hozzá 1.. stb.)

Az utolsó számjegy 2, vagyis a+c = 2 vagy 12 kell legyen. 12 nem lehet, mert akkor az első "számjegy", ami legalább a+c, már túl sok lenne.

a+c = 2:

-- a=2, c=0

-- a=0, c=2

-- a=1, c=1

Ne is gondoljunk bele, hogy ha a vagy c 0, akkor a szám vagy a fordítottja csak 2 jegyű lenne és az jó-e, mert más baj is látszik: Ha a+c=2, akkor nincs átvitel az egyesekről a tízesekre, tehát 2b értéke 7 kell legyen, de a 7 páratlan. Vagyis nincs megoldás.

Tehát nincs egyetlen ilyen szám sem.

Az előző megoldásnál érdemes volna még egy lépést megtenni, akkor az egyenlet ilyen alakot öltene:

101(a+c-2) = 10(7-2b)

101 osztója a jobboldalnak és mivel prímszám, ezért

osztója (2-7b) -nek is, ami csak úgy lehetséges, ha

2-7b = 0 → b=3,5 nem egész szám → nincs megoldás.