Hogyan határozzuk meg az 1*2*3*4*. *11*12 szorzat utolso számjegyét?

Mivel a szorzat páros és osztható 5-tel, ezért az utolsó számjegye NULLA!

Általánosan is, ha 5-nél több tényezőig szorzunk :)

De, tanították. Csak nem ezen a feladaton. Ez a szemlélet egyébként általános (és rettentően rossz), hogy ha valami új(nak tűnő) feladatot lát a diák, máris feladja, bele sem kezd, mert "ezt nem tanították". A problémamegoldás pont azért problémamegoldás, mert a meglévő ismereteidet, azok kreatív alkalmazását felhasználva fogod megtalálni a helyes választ. Mint itt is.

Lássuk, miről van szó! Egy szám utolsó számjegyét keressük. Nézzünk egy-két számot akkor: 21->1, 456->6, 1978->8, stb.. Ha jobban ránézünk, láthatjuk, hogy 21=20+1, 456=450+6, 1978=1970+8, azaz minden szám összeáll egy tízzel osztható részből meg az utolsó számjegyből. Azaz a számok tízes osztási maradéka az utolsó számjegyük.

Mikor osztható egy szám 10-zel? Hát ha osztható 2-vel és 5-tel. (A 0-ra végződik itt nem jó, mert nem tudjuk, mire végződik, pont azt keressük). A kettest ott látod, ha jobban kiírod a szorzatot, akkor az ötöst is, szóval a szám tízzel maradék nélkül osztható, miszerint az utolsó számjegye 0.

Nem mellékesen az sem rossz, ha teljesen kiírod a szorzatot, meg fogod találni ott a tízest is, szóval a szám ekkor x*10, a tíz többszörösei meg nullára végződnek. Ezzel az a gond, hogy egyrészt olyan számmal is lehet osztható, ami nincs is felsorolva, másrészt kellően hosszú szorzat esetén nem tudod ennyire kibontani. Ráadásul még általánosítani is nehéz.

És a végére, hogy vizsgálhasd, mennyire sikerült megérteni, amit mondtam:

1) Mi az 1*2*3*4*...*8*9 szorzat eredményének utolsó számjegye?

2) Mi az 1*2*3*4*..*19*20 szorzat maradéka hattal osztva?

3) Osztható-e az 1*2*3*4*...*999*1000 szorzat 257-tel?

4) Osztható-e az 1*2*3*4*...*999*1000 szorzat 5911-gyel?