Segít vki egy geometria feladatban?

Legyen M a trapéz AD és BC szárainak metszéspontja.

Kiszámítjuk először az M pont hatványát az AC fölé írt Thalesz-körre vonatkozóan.

A pont körre vonatkozó hatványa definíció szerint d^2-r^2, ahol d a pont távolsága a kör középpontjától és r a kör sugara.

Most a kör középpontja az AC átló E felezőpontja. Ennek az M-től vett távolságát onnan kaphatjuk meg, hogy ME az AMC háromszög súlyvonala. A háromszög súlyvonalára vonatkozó tétel alapján

ME^2 = 1/4 * (2MC^2 + 2MA^2 - AC^2).

(Ez a tétel onnan adódik, hogy tetszőleges paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzetösszegével, és a háromszög oldalfelezőpontjára való tükrözéssel kapott paralelogrammára alkalmazhatjuk ezt. Így a súlyvonal négyzetének négyszeresét a megfelelő oldal négyzetével összeadva megkapjuk a másik két oldal négyzetösszegének kétszeresét.)

A körünk sugara

EA = 1/2*AC.

Így az M pont körre vonatkozó hatványa:

d^2-r^2 = ME^2 - 1/4*AC^2 = 1/4 * (2MC^2 + 2MA^2 - AC^2) - 1/4*AC^2 = 1/2 * (MA^2 + MC^2 - AC^2).

Itt felhasználhatjuk a koszinusz-tételt az MAC háromszögre, és azt kapjuk, hogy

AC^2 = MA^2 + MC^2 - 2*MA*MC*cos(gamma),

ahol gamma a trapéz szárainak szöge.

Ezt behelyettesítve az előző összefüggésbe adódik, hogy az M pont AC fölé írt Thalesz-körre vonatkozó hatványa

MA*MC*cos(gamma).

Az A és C pontok szerepét B-re és D-re cserélve kapjuk, hogy a BD fölé írt Thalesz-körre vonatkozó hatványa M-nek

MB*MD*cos(gamma).

Ez a kettő azonban egyenlő, hiszen a párhuzamos szelők tétele alapján

MA/MD = MB/MC,

tehát

MA*MC = MB*MD.

Így beláttuk, hogy M mindkét körre vonatkozó hatványa ugyanannyi, tehát valóban rajta van a két kör hatványvonalán.