F (x) = (x-4) *e^-x függvény ábrázolása és elemzése?

Értelmezési tartomány: R

Értékkészlet: ehhez vizsgálni kell a végtelenekben vett határértéket, ehhez a L'Hospital-szabályt érdemes használni:

végtelenben: 0, -végtelenben: -végtelen

Szükségünk van még az esetleges szélsőértékekre, ehhez deriválnunk kell: 1*e^(-x)+(4-x)*e^(-x)=(5-x)*e^(-x), ezt nem nehéz kitalálni, hogy csak x=5 esetén lesz 0. Ha x<5, akkor a derivált pozitív, ha x>5, akkor negatív, tehát itt maximum van. A függvény értéke x=5 esetén e^(-5), a végtelenekben vett határértékek ennél mind kisebbek, tehát ez egy globális maximuma a függvénynek, és mivel a függvény folytonos, ezért a Bolzano-Weierstrass tétel alapján minden értéket felvesz a (-végtelen;e^(-5)] intervallumon, tehát ez lesz az értékkészlete.

Zérushely: x=4, ezt sem nagy bűvészet kisakkozni.

Monotonitás: ezt már fentebb leírtam.

Konvexitás: ehhez a második deriváltra van szükségünk: -1*e^(-x)+(x-5)*e^(-x)=(x-6)*e^(-x), ez x=6 esetén 0, tehát ott inflexiós pontja van a függvénynek, ha x<6, akkor negatív, tehát konkáv, ha x>6, akkor pozitív, tehát konvex.

Ábrázolás:

[link] , bár ezen sajnos nem látszik, hogy konvex x>6-ra.