Logaritmusos egyenletrendszerekből: log3 (2x+y) +log3 (2x-y) =1 [3-as alapú logaritmus (2x+y) +3-as alapú logaritmus (2x-y) =1] és a második egyenlet log2 (2x+y) +log2 (2x+y) =1 [2-es alapú logaritmus (2x+y) +2-es alapú logaritmus (2x+y) =1]?

A második egyenletet nem írtad el esetleg? Nem log2(2x-y) akar lenni?

Itt egyszerűbb használni a logaritmus azonosságát; az első egyenlet bal oldalából log3[(2x+y)(2x-y)]=log3[4x^2-y^2] lesz, a másodikból (ha nem írtad el) log2[(2x+y)(2x+y)]=log2[(2x+y)^2], ezekből ezeket az egyenleteket kapjuk:

4x^2-y^2=3 }

2x+y=gyök(2) }, gyökvonás miatt -gyök(2) is kellene, de akkor a logaritmusokon belül -gyök(2) lenne, az meg ugye nem nyerő. A második egyenletből 2x=gyök(2)-y adódik, ezt beírjuk az első egyenletbe:

(2x)^2-y^2=3 miatt

(gyök(2)-y)^2-y^2=3

2-2gyök(2)y+y^2-y^2=3

2-2gyök(2)y=3

y=-1/(2gyök(2)=-gyök(2)/4, ebből 2x=gyök(2)+gyök(2)/4=5gyök(2)/4,

WolframAlphával ellenőrizve:

[link]

Tehát jól számoltunk.

Hát, annyival, hogy a két egyenlet:

4x^2-y^2=3 }

4x^2-y^2=2 }

Értelemszerűen ugyanannak a két számnak a különbsége nem lehet egyszerre 2 is és 3 is, tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása.

Másik lehetőség, hogy kivonod egymásból a két egyenletet, ekkor 0=1 (vagy 0=-1) egyenletet kapod, ami pedig ellentmondás, tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása.

Ezeken kívül csak bonyolultabb levezetés van, és mindre azt kapod, hogy nincs megoldás.