Matek, algebrai tört. Hogy kell megoldani?

Átírod mindkét zárójelben az 1-et, hogy össze tudd adni őket zárójelen belül:

a/(a+1) + 1 = a/(a+1) + (a+1)/(a+1) = (a+a+1)/(a+1) = (2a+1)/(a+1)

1 - (3a^2)/(1-a^2) = (1-a^2)/(1-a^2) - (3a^2)/(1-a^2) = (1-a^2-3a^2)/(1-a^2) = (1-4a^2)/(1-a^2)

Törtet törttel úgy osztunk, hogy az osztó reciprokával szorzunk:

(2a+1)/(a+1) * (1-a^2)/(1-4a^2) = [(2a+1)*(1-a^2)]/[(a+1)*(1-4a^2)]

Számláló: 2a-2a^3+1-a^2 = -2a^3-a^2+a+1

Nevező: a-4a^3+1-4a^3 = -8a^3+a+1

Igazából ez az egyik megoldásmenet, tovább nem számolnám, mert már belegabalyodtam.

Viszont!

Fel lehet ismerni, hogy az (1-a^2) nevezetes azonosság, ami egyenlő (a+1)*(a-1) szorzattal. Ha ebből indulsz ki, akkor lehet, hogy tudsz valahogyan egyszerűsítgetni. :-)

Először közös nevezőre kell hoznod a számlálót és a nevezőt is külön-külön.

Számláló:

a / (a + 1) + 1 =

= a / (a + 1) + (a + 1) / (a + 1) =

= (2a + 1) / (a + 1)

Nevező:

1 - (3a^2) / (1 - a^2) =

= (1 - a^2) / (1 - a^2) - (3a^2) / (1 - a^2) =

= (1 - 4a^2) / (1 - a^2)

Utána eszünkbe jut, hogy: törttel úgy osztunk, hogy a reciprokával szorzunk

Tehát:

[a / (a + 1) + 1] / [1 - (3a^2) / (1 - a^2)] =

= [(2a + 1) / (a + 1)] / [(1 - 4a^2) / (1 - a^2)] =

= [(2a + 1) / (a + 1)] * [(1 - a^2) / (1 - 4a^2)]

Itt használni kell az "(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2" nevezetes azonosságot kétszer:

1 - a^2 = (1 + a) * (1 - a)

1 - 4a^2 = (1 + 2a) * (1 - 2a)

Ezt behelyettesítve:

[(2a + 1) / (a + 1)] * [((1 + a) * (1 - a)) / ((1 + 2a) * (1 - 2a))]

Keresztben lehet egyszerűsíteni (2a + 1)-gyel, illetve (1 + a)-val:

[1 / 1] * [(1 - a) / (1 - 2a)] = (1 - a) / (1 - 2a)

----

Közben megelőztek :)