Valaki egy kis lineáris algebra?

(A T felső indexeket nem írom oda itt, de neked mindegyik vektorhoz oda kell írni.)

Válasszuk ki bármelyik bázisvektort. A legjobban akkor járnánk (akkor kellene a legkevesebbet számolni), ha a második vagy harmadik bázisvektort választanánk, hisz azok egységnyi hosszúak, de válasszuk az elsőt:

u₁ = [0, 1, 1]

Ennek a hossza |u₁| = √(0²+1²+1²) = √2, ezért az u₁ irányú egységvektor:

e₁ = [0, 1/√2, 1/√2]

Ez lesz az új ortonormált bázis első vektora.

Nézzük a következő eredeti bázisvektort,

u₂ = [0, 1, 0]

(Direkt nem a középsőt választottam most, mert azzal egyszerűbb lenne a számolás, mert annak és e₁-nek a skalárszorzata 0 lenne.)

Ennek az u₂-nek kell venni a vetületét e₁-re. Vetületet úgy tudunk csinálni, hogy vesszük először a skalárszorzatukat:

e₁·u₂ = 0 · 0 + 1/√2 · 1 + 1/√2 · 0 = 1/√2 = r₂ (ez skalár)

Ilyen hosszú a vetület. A vetületvektor pedig, mivel a vetület e₁ irányú:

w₂ = r₂·e₁ (ez vektor)

w₂ = [0, 1/2, 1/2]

Na most az u₂ és w₂ vektorokat ha felrajzolod a közös síkjukban, akkor a csúcsaikat összekötve egy derékszögű háromszöget kapsz. Ezt a derékszögű befogót így kapjuk meg:

v₂ = u₂ - w₂

hisz w₂ + v₂ = u₂

v₂ = [0, 1/2, -1/2]

Ez lesz az új második vektor, és mivel ortonormált kell, ezért normalizáljuk. A hossza √(1/4+1/4) = 1/√2, ezzel osztjuk, vagyis √2-vel szorozzuk:

e₂ = [0, 1/√2, -1/√2]

A harmadik eredeti bázisvektor:

u₃ = [1, 0, 0]

Ezt kell vetíteni e₁-re is és e₂-re is. A vetületek hosszai skalárszorzással jönnek ki:

r₃₁ = e₁·u₃ = 0

r₃₂ = e₂·u₃ = 0

Ha nem nulla lenne, akkor a vetületvektorokat is ki kellene számolni:

w₃₁ = r₃₁·e₁ = [0, 0, 0]

w₃₂ = r₃₂·e₂ = [0, 0, 0]

Ugyanúgy, ahogy az e₁-re merőleges volt az u₂-w₂ vektor, úgy most az e₁,e₂ síkra merőleges az u₃-w₃₁-w₃₂ vektor, mert a w₃₁+w₃₂ vektor és u₃, ha behúzzuk a csúcsaikat összekötő egyenest is, derékszögű háromszöget kapunk.

v₃ = u₃-w₃₁-w₃₂ = [1, 0, 0]

Ezt is normalizálni kell, de mivel a hossza 1, egyszerű:

e₃ = [1, 0, 0]

Kész is vagyunk, e₁, e₂ e₃ az új ortonormált bázis.

----

Ha nem ebben a sorrendben csináljuk, hanem mondjuk így:

u₁ = [1, 0, 0], normalizálva:

e₁ = [1, 0, 0]

u₂ = [0, 1, 0]

Ennek vetülete e₁-re:

r₂ = e₁·u₂ = 0 (a vetület hossza)

w₂ = r₂·e₁ = [0, 0, 0]

Az e₁-re merőleges vektor:

v₂ = u₂ - w₂ = [0, 1, 0]

Ennek normalizáltja:

e₂ = [0, 1, 0]

u₃ = [0, 1, 1]

Ennek vetülete e₁-re és e₂-re:

r₃₁ = e₁·u₃ = 0 (a vetület hossza)

w₃₁ = r₃₁·e₁ = [0, 0, 0]

r₃₂ = e₂·u₃ = 1 (a másik hossz)

w₃₂ = r₃₂·e₂ = [0, 1, 0]

A merőleges vektor:

v₃ = u₃ - w₃₁ - w₃₂ = [0, 0, 1]

Ennek normalizáltja:

e₃ = [0, 0, 1]

Kész, megkaptuk a közismert bázist.

---

Látszik, hogy attól függően, milyen sorrendben csinálod, más-mást kapsz, de az mind jó ortonormált bázis.