Fizika háziban kérnék segítséget (? )

Egy tetszőleges f(x) függvény Fourier-transzformáltja ugye definíció szerint

F(ω) = int(f(x)*e^(i*ω*x), x = -∞..∞)

(Lehet még benne 1/gyök(2*π)-s vagy 1/(2*π)-s szorzó, illetve a kitevőben egy '–' előjel, megegyezés kérdése, mindenképpen ellenőrizd a jegyzetedben.)

Na most az esetedben, érdemes három részre bontani az integrált, mert ha x < –T/2 vagy x > T/2, akkor az f(x) = 0. Azaz

int(f(x)*e^(i*ω*x), x = -∞..∞) = int(0*e^(i*ω*x), x = –∞..–T/2) + int(1*e^(i*ω*x), x = –T/2..T/2) + int(0*e^(i*ω*x), x = T/2..∞).

Ezek az integrálok pedig elvileg már nem olyan nehezek. Ha sikerül, akkor írd be az eredményt, és megmondom, hogy jó-e, aztán rátérhetünk a T→∞ kérdésre.

A két szélső tagot azért remélem, sikerült integrálnod… Másrészt a π-kkel és előjelekkel rendben vagyok? (Csak hogy ne dolgozzak feleslegesen…) Harmadrészt akkor leírom a megoldást, viszont van mit bepótolnod…

F(ω) = int(e^(i*ω*x), x = –T/2..T/2) = [e^(i*ω*x)/(i*ω), x = –T/2..T/2] = e^(i*ω*T/2)/(i*ω) – e^(–i*ω*T/2)/(i*ω) = (e^(i*ω*T/2) – e^(–i*ω*T/2))/(i*ω) = 2*sin(ω*T/2)/ω,

ahol használtuk a szinusz komplexes éados definícióját. Ez lesz a Fourier-transzformált (esetleg még konstansok itt-ott).

Ha T tart a végtelenbe az egy érdekes dolog, amit így kapunk az nem is lesz függvény, mert sehol nincs határozott értéke. Viszont ha ezt a valamit ω szerint integráljuk –∞-től ∞-ig, akkor furcsa dolgot tapasztalunk, ugyanis ez a valami ω = 0 körül a szinusz egy periódusára minden T-re pozitív, így ott ad mindenképpen ad egy pozitív járulékot, viszont ha ω eltér a 0-tól, akkor a T nagy volta miatt olyan sűrűn vannak a szinusz hullámai, hogy kioltják egymást. Szóval ha T tart végtelenhez, akkor ω = 0-ra ez a valami végtelen lesz, különben pedig „átlagosan” 0, ráadásul az ω szerinti integrálja (amit most nem fogok leírni, hogyan kell számolni) az 2*π lesz, tehát ezt a valamit úgy írhatjuk, hogy ha T→∞, akkor

F(ω) = 2*π*δ(ω),

δ(ω) a Dirac-deltát jelöli.