Mi annak a körnek az egyenlete, amely áthalad az a (-4;2) ponton, a sugara 4 egység és érinti az x+y-4=0 egyenest?

Kicsit gyanús, hogy nincs-e elírva valamelyik számjegy. Így egy kicsit "csúnyák" a számok:

[link]

Ha valami el van írva, vagy nem világos, kérem jelezd!

Először is, felírjuk azoknak az egyeneseknek az egyenletét, amelyek párhuzamosak az egyenessel, és 4 egység távolságra vannak az eredetitől.

Az egyenes egy normálvektora kiolvasható az egyenletéből: (1;1), ennek a vektornak a c-szerese (skalárszorosa) (c;c), ennek a hossza gyök(c^2+c^2)=gyök(2c^2), és úgy akarjuk megválasztani c-t, hogy a vektor hossza 4 legyen:

gyök(2c^2)=4 -> 2c^2=16 -> c=gyök(8) vagy c=-gyök(8), meglátjuk, hogy melyikre lesz szükségünk.

Válasszunk egy pontot az egyenesről, például a (2;2) pontot, erről a pontról hogyha a (gyök(8);gyök(8)) ponttal ellépünk, akkor a P(2+gyök(8);2+gyök(8)) pontot kapjuk, ez rajta van a keresett egyenesen. Így már csak az a kérdés, hogy melyik az az egyenes, amely áthalad ezen a ponton, és irányvektora (1;1)? Válasz: x+y=2+gyök(8)+2+gyök(8) -> x+y=4-2*gyök(8)

Ha a másik vektort választjuk, akkor a Q(2-gyök(8);2-gyök(8)) pontot kapjuk, ekkor az egyenes egyenlete x+y=4-2*gyök(8) lesz.

Most nézzük meg a (-4;2) középpontú, 4 sugarú kör és a kapott egyenesek metszéspontját; ahol az van, ott lesz a keresett kör középpontja.

A kör egyenlete: (x+4)^2+(y-2)^2=16, az egyenes és a kör metszéspontját úgy tudjuk kiszámolni, hogy egyenletrendszerbe foglaljuk őket, és megoldjuk:

(x+4)^2+(y-2)^2=16 }

x+y=4+2*gyök(8) }, a második egyenletből y=4+2*gyök(8)-x adódik, ezt y helyére beírjuk az első egyenletben:

(x+4)^2+(4+2*gyök(8)-x-2)^2=16

Ez könnyedén kiszámolható, így azt most nem részletezném, csak a végeredményt:

[link]

Látható, hogy valós megoldása nincs, tehát ez az egyenes nem nyert. Nézzük a másikat:

(x+4)^2+(y-2)^2=16 }

x+y=4-2*gyök(8) } -> y=4-2*gyök(8)-x, ezután

(x+4)^2+(4-2*gyök(8)-x-2)^2=16:

[link]

Ennek már két megoldása lesz, az ezekhez tartozó y-okkal összeházasítva megkapjuk a jó körök középpontjait, onnan már csak 1 lépés az egyenletük felírása. Remélem, tudtam segíteni.