Hogy lehet megszerkeszteni azt a háromszöget, melynek ismert két oldala és a harmadikhoz tartozó szögfelező hossza?

hmm, jo kerdes... valoszinu ugy allnek neki hogy megszerkesztenem a szogfelezot magat, aztan a vegpontbol koroznek a ket oldal hosszaval.

Utana a szogfelezo masik pontjan at tukroznem mindket kort, hogy tobb szimmetriat adjak bele, es onnan probalnek rajonni utana.

Ha az ABCΔ-ben az C-ból induló (belső) szögfelező f (pontosabban: f_c), akkor a következő összefüggés áll fenn:

f² = ab - abc²/(a+b)²

Ebből a c oldal kifejezhető a,b,f segítségével és ennek alapján szerkeszthető is volna, de ez nem lenne se rövid, se szépségdíjas megoldás.

A szerkesztéshez a klasszikus síkgeometriából két dolgot kell tudni.

Szögfelezőtétel: [link]

és

az Apollóniusz-kör: [link]

Az ABC Δ szerkesztéséhez (a,b,fc adott) először egy hozzá hasonló A_1B_1C_1 Δ-t kellene megszerkeszteni, amit már könnyű lesz a szükséges méretűre nagyítani/kicsinyíteni.

Egy tetszőleges A_1B_1 szakaszon megszerkesztjük a szakaszt a:b arányban osztó F pontot. (Legegyszerűbb, ha eleve egy a+b hosszúságú szakaszt veszünk fel.)

Megszerkesztjük az A_1, F pontokhoz tartozó Apollóniusz-kört, melynek P pontjaira:

A_1P/FP = a:f (utóbbiak adottak.)

Ugyanígy megszerkesztjük a B_1,F pontokhoz tartozó Apollóniusz-kört, melynek P pontjaira:

B_1P/FP = b:f (utóbbiak adottak.)

A két Apollóniusz-kör metszéspontjai tükörképek az A_1FB_1 egyenesre, ezért elég az egyikkel foglalkozni, ez lesz a C_1 pont és ezzel megvan a szerkesztendő Δ-höz hasonló A_1B_1C_1 Δ

(Ha esetleg f=a, vagy f=b (mindkettő nem lehet), akkor az egyik Apollóniusz-kör helyett felező merőleges kell.)