Koordináta-geometira! Mennyi a háromszög csúcsainak koordinátái?

Ha van egy P(x; y) és egy Q(u; v) pontod, akkor a két pont közti szakasz felezőpontjainak koordinátái: F( (x + u) / 2; (y + v) / 2 ).

Egyenletrendszerrel:

f1 = (x + u) / 2

f2 = (y + v) / 2

=> F(f1; f2)

Na most van 3 pontod, amit keresünk:

A(a1; a2)

B(b1; b2)

C(c1; c2)

Ezek pontosan 3 szakaszt határoznak meg, a háromszög 3 oldalát. Ezeknek a szakaszoknak megadták a felezőpontjait.

Írjuk fel EGY sorrendben a fenti definíció alapján az egyenletrendszert!

Sőt, hogy ne folyjon össze teljesen, először csak az első koordinátákkal foglalkozzunk!

De előtte akkor rögzítsük azt az EGY sorrendet:

Legyen az AB szakasz felezőpontja a (-2; 2) pont.

Legyen az AC szakasz felezőpontja a (5; 1) pont.

Legyen az BC szakasz felezőpontja a (3; 4) pont.

Az első egyenletrendszer az első koordináták alapján:

(a1 + b1) / 2 = -2

(a1 + c1) / 2 = 5

(b1 + c1) / 2 = 3

a1 + b1 = -4

a1 + c1 = 10

b1 + c1 = 3

Fejezzük ki az elsőből b1-et: b1 = -4 - a1

Ezt helyettesítsük be:

a1 + c1 = 10

-4 - a1 + c1 = 3

a1 + c1 = 10

c1 - a1 = 7

Az elsőből fejezzük ki a c1-et: c1 = 10 - a1

Ezt helyettesítsük be:

10 - a1 - a1 = 7

-2a1 = -3

a1 = 3/2

Visszahelyettesítés:

c1 = -4 - a1 = -5/2

b1 = 10 - a1 = 17/2

--------------------

A második koordinátákra az egyenletrendszer a következő:

(a2 + b2) / 2 = 2

(a2 + c2) / 2 = 1

(b2 + c2) / 2 = 4

Az előzőhöz hasonló módon oldd meg!

-----------------

Végül érdemes készíteni egy ábrát, pontosat, mivel kis számokról van szó. Ugyanis könnyen lehet, hogy elszámoltam vagy elírtam valamit.

Másik lehetőség, hogy tudod, hogy az oldalfelezők által meghatározott szakaszok a középvonalak, amelyekről tudjuk, hogy azok párhuzamosak a harmadik oldallal. Tehát felírod a három oldal egyenesének egyenletét, azokat páronként egyenletrendszerbe foglalod és megoldod őket.

Felírom az egyik oldal egyenesét, remélem, hogy az alapján menni fog;

A(-2;-2) B(5;1) --> AB->=(7;3), ebből normálvektort csinálunk: n(3;-7). Az egyenes átmegy a harmadik ponton, ezért az egyenes egyenlete:

3x-7y=3*3-7*4=-19, vagyis 3x-7y=-19

Legegyszerűbben vektorokkal lehet kiszámolni.

Az ABC Δ oldalfelező pontjai:

A1(-2;-2), B1(5;1), C1(3;4)

A1 a BC szakasz felezőpontja, stb.

B1C1, A1B, CA1 szakaszok párhuzamosak és egyenlő hosszúságúak.

A1→B = - A1→C = B1→C1 = (3-5;4-1) = (-2;+3)

B = (-2-2,-2+3 ) = (-4;+1)

C = (-2+2,-2-3 ) = ( 0;-5)

B1→A = A1→C1 = (+3+2;+4+2) = (+5;+6)

A = (+5+5;+1+6) = (+10; +7)