A sin3x+cos2x függvény periódusát hogy lehet meghatározni?

Egy ƒ(x) függvény periódusa a p szám, ha

(1) Minden x-re: ƒ(x+p) = ƒ(x)

(2) p > 0

(3) p a legkisebb ilyen tulajdonságú szám.

A periódusok legkisebb közös többszöröse biztosan teljesíti az (1) és (2) feltételt,

de a (3)-t nem feltétlenül. Csak az bizos, hogy az összeg (szorzat, stb.) függvény tényleges periódusa általában ennek a legkisebb közös többszörösnek osztója.

Pl. sin(x) és cos(x) is 2π szerint periodikus és az lkkt is annyi.

A szorzatuk sin(x)·cos(x) = ½·sin(2x) periódusa viszont π.

A fenti „általában” arra vonatkazik, hogy az összeg (szorzat, stb.) esetleg nem is periodikus.

Pl. sin²(x) és cos²(x) periódusa is π, de az összegük ≡ 1 konstans függvény,

p bármi lehet, nincs legkisebb pozitív p, nem teljesülhet a (3) feltétel.

Tanulság: nem lehet megúszni a konkrét példa érdemi vizsgálatát.

Igen.

A példa tanulságos, de különösebb óvatosságot nem igényel, mert a fentiekből megmagyarázható.

Lényegében már le volt írva, de most pontokba szedve a gondolatmenetet:

1)

Vesszük a két függvény periódusainak, legkisebb közös többszörösét („lkkt”).

Az összeg-, szorzat- stb. függvénynek az lkkt biztosan periódusa.

2)

Az lkkt osztói között, vagyis a {lkkt, lkkt/2, lkkt/3, lkkt/4, …}

halmazban vannak a periódusnak való számok, az elő biztosan az, de lehet még több is.

(Ennek eldöntésére nincs általános módszer, hanem az adott példát érdemben meg kell vizsgálni.)

3)

A szorosabb értelemben vett periódus, „a periódus” e halmaz legkisebb eleme (ha létezik ilyen.)

Mivel az általad mutatott példánál - √2 irracionális volta miatt - nem is létezik lkkt, ezért még az 1) pontig sem jutunk el, emiatt a lehetséges periódusok halmazának, vagyis az üres halmaznak nem lesz legkisebb eleme,

tehát a mutatott függvény nem periódikus.