Hogyan lehet megoldani ezeket az integrálásos feladatokat?

1.

Nem írtad el? Szerintem szorzás jel van a nagyobb jel helyett.

Viszont kellene tudni, hogy mettől meddig megy a t, amihez tartozó ívnek a hossza a kérdés.

2.

Ez tényleg kör lesz, de trükkösen.

x(φ) = r·cos(φ) = 6·cos²(φ) = 3·(cos(2φ) + 1)

y(φ) = r·sin(φ) = 6·cos(φ)·sin(φ) = 3·sin(2φ)

Látszik, hogy a periódus π, tehát az ívhosszat a 0 ≤ φ ≤ π tartományban kell kiintegrálni:

π

∫ √(dx/dφ)² + (dy/dφ)²) dφ

0

dx/dφ = -3·sin(2φ)·2

dy/dφ = 3·cos(2φ)·2

A négyzetösszegből kiesik a sin és a cos (sin²+cos²=1 miatt), tehát az ívhossz:

π

∫ 6 dφ = 6π

0

Lehetett volna simán a polárkoordinátás egyenletből is számolni, de úgy nekem nem látszott elsőre az integrálási tartomány.

3.

Valószínű, de nem vagyok benne biztos én sem.