Határozd meg a 10-es számrendszerben írt ab számot tudva, hogy ab-ba=a (b−1), ahol a és b egymástól különböző relatív prímek. Ezt hogy kell? (Sürgős! )

Az a(b-1) egy kétjegyű szám vagy egy szorzat? Mert ha kétjegyű szám, akkor értelmetlen a feladat, mivel ab-ből úgy lesz a(b-1), hogy elveszünk belőle 1-et, tehát akkor ab=1, ez pedig itt ellentmondás.

Ha szorzat, akkor a bal oldalon lévő tagokat szétbontjuk a tanultak alapján:

ab=10a+b, ba=10b+a, tehát

10a+b-10b-a=a*(b-1)

9a-9b=a*(b-1)

9*(a-b)=a*(b-1)

A bal oldal osztható 9-cel, emiatt a jobb oldalnak is oszthatónak kell lennie 9-cel, ez csak úgy lehet, hogyha a és b-1 prímtényezős felbontásában összesen van legalább 2 darab 3-as tényező.

Ha valamelyik 9, akkor a másik bármi lehet; ha a=9, akkor

9*(9-b)=9*(b-1)

9-b=b-1, erre b=5. Tehát ab=95

Ellenőrzés: 95-59=36=9*4=9*(5-1), 5 és 9 relatív prímek (legnagyobb közös osztójuk az 1), tehát ez jó.

Ha b-1=9, akkor b=10, ez pedig nem nyerő.

a nem lehet 0, így csak b-1 lehet 0, ekkor

9*(a-0)=0, erre a=0, nem lehet.

Ha egyik tag sem 9 vagy 0, akkor össze kell szedni a 3-mal osztható egyjegyű számokat: 3;6, és mivel a>b (máskülönben a bal oldal negatív vagy 0 lenne), ezért már csak 1 megoldás lehet:

a=6, b-1=3 -> b=4, így még egy számot kell ellenőrizni, a 64-et, ez már alapból nem lehet, mivel a 6 és a 4 nem relatív prímek (legnagyobb közös osztójuk a 2).

Tehát csak 1 megoldás van; ab=95.

A feladat

__ __

ab-ba = a(b - 1)

Kibontva

9(a - b) = a(b - 1)

9a - 9b = ab - a

10a - ab = 9b

a(10 - b) = 9b

ebből

a = 9b/(10 - b)

'b'-t a nevező nevezőjébe téve

a = 9/[(10 - b)/b]

a nevezőben tagonként osztva kapjuk

a = 9/(10/b - 1)

A bal oldal akkor lesz egész, ha a jobb oldal nevezője osztója 9-nek.

(10/b - 1)|9

A 9 osztói

d = 1, 3, 9

így három esetben kell a

10/b - 1

kifejezést kiértékelni

1.) d = 1

10/b - 1 = 1

10 = 2b

b = 5

ekkor

a = 9

2.) d = 3

10/b - 1 = 3

10 = 4b

nem megoldás!

3.) d = 9

10/b - 1 = 9

10 = 10b

b = 1

ezzel

a = 1

Ez sem jó, mert nem relatív prímek.

Így egy megoldás marad

a = 9

b = 5

vagyis a szám

N = 95

=====

DeeDee

**********