Hogy kell kiszámolni? Részletesen?

1. Egy n oldalú sokszögnek n*(n-3) átlója van.

2. Egy n oldalú szabályos sokszög 1 belső szögének nagysága 180*(n-2)/n.

Ezeket kell használnod.

1. feladat

Induljunk a kályhától, tisztázzuk először az átló fogalmát.

Egy konvex sokszög átlója két - nem szomszédos - csúcsot összekötő szakasz.

Ennek alapján lássuk, hány pont marad átlóképzésre egy 'n' oldalú konvex sokszögben.

Bökjünk ki egy pontot, jelöljük A-val.

A definíció szerint a szomszédos két csúcs kiesik, valamint kiesik maga az A pont is, mivel önmaga nem köthető össze semmivel, vagyis azt kapjuk, hogy egy 'n' oldalú konvex sokszögben (n - 3) csúcs marad az egy csúcsból húzható átlók képzésére.

Legyen az átlók száma d, akkor írható, hogy

d = n - 3

A feladatban a 'd' értékei ismeretében kell a sokszög oldalainak számát meghatározni.

a.) d = 5

Behelyettesítve a képletbe

5 = n - 3

ebből a megoldás

n = 8

A b.) eset megoldását a kérdezőre bízom. :-)

********************************************************

2. feladat

Hány oldalú az a szabályos sokszög, amelyben egy belső szög nagysága α?

A megoldáshoz a sokszög belső szögeinek összegét kell segítségül hívni.

Ezt az összeget itt kétféleképpen lehet felírni.

Egyrészt

Mivel szabályos sokszögről van szó, ennek minden belső szöge ugyanakkora, és annyi belső szöge van, ahány oldala, ezért egy 'n' oldalú szabályos sokszög belső szögeinek összege:

S = n*α

Másrészt

Mit lehet tenni, ha nem ismerjük egy belső szögét, csak a sokszög oldalainak számát?

A megoldás: olyan idomokat kell keresni a sokszögben, melyeknek ismerjük szögeinek összegét és ezeket összeadva megkapjuk a sokszög belső szögeinek összegét.

A keresett idomok a háromszögek, melyeket úgy kapunk, ha meghúzzuk a sokszög egy csúcsából induló átlóit!

Próbáld ki, rajzolj egy tetszőleges sokszöget, húzd meg az átlóit és látni fogod, hogy csupa háromszög keletkezik.

A nagy kérdés az, hogy hány háromszöget kapsz, ha minden, egy csúcsból induló átlót behúztál?

Ha veszel egy pálcát, 1 vágással 2 részt kapsz, 2 vágással 3, 3 vágással 4 rész az eredmény, .. stb..

Vagyis a tapasztalat azt mutatja, hogy a keletkezett részek száma eggyel több, mint a vágások száma!

R = v + 1

Hogy néz ez ki egy sokszögben?

A vágások az egy csúcsból induló átlók, a részek pedig a háromszögek!

A pálcás kísérlet alapján azt mondhatjuk, hogy a keletkezett háromszögek (részek) száma az egy pontból húzható átlók (vágások) számánál eggyel nagyobb.

R = d + 1

Az 1. feladatban azt kaptuk, hogy az egy csúcsból húzható átlók száma

d = n - 3

Így a háromszögek (részek) száma

R = n - 3 + 1

R = n - 2

Vagyis egy 'n' oldalú sokszöget az egy pontból húzható átlókkal (n - 2) háromszögre oszthatunk.

Az így kapott háromszögek belső szögeinek összege a sokszög belső szögeinek összegét adja!

Mivel a háromszög belső szögeinek összege 180°, a sokszög belső szögeinek összege

S = (n - 2)180

A kétféle úton kapott szögösszeg egyenlő, így

(n - 2)180 = n*α

A zárójelet felbontva

180n - 360 = n*α

Átrendezve

180n - nα = 360

Kiemelve

n(180 - α) 360

ebből a keresett összefüggés:

n = 360/(180 - α)

**********************

A feladat szerint ha

a.) α = 60°

akkor

n = 360/(180 - 60) = 360/120

n = 3

====

vagyis a keresett sokszög egy szabályos háromszög.

A b.) változat megoldása legyen a kérdező sikerélménye. :-)

Csak remélni tudom, hogy elég részletes és érthető is voltam.

DeeDee

***********