Matek háziban valaki segit? 10. Evfolyam, emelt feladat (HASONLOSAG)

Elnézést! A #10 válaszba hibás link került. Itt van a jó:

[link]

Ezt jelenti az általános megoldás:

[link]

Számomra azért érdekes ez a feladat, mert eddig még nem találkoztam olyan kérdéssel, amelyben általános megoldást kértek. Ez nem jelenti azt, hogy ilyen még nem volt, nekem ez az első találkozásom ilyen kitétellel. :-)

Az általános megoldás kellőképp meg is rémítette a kérdezőt, amit nem csodálok, hiszen azt tapasztaltam, ha nincsenek számok, máris kitör pánik, mint mikor a fuldoklótól elveszik az utolsó szalmaszálat is. :-)

Nemrég egy Ausztriában tanuló diák tett fel egy kérdést, annak egyik pontja volt az általános megoldás levezetése.

Nem tudom, nálunk ez miért nem szokás, pedig egy mélyebb összefüggés felfedezése szerintem sikerélményt jelentene.

Mindezek után lássuk a feladatunkat.

A hasonlóság felhasználásával kapott megoldások:

f = c²/b

és

g = (b² - c²)/b

Bármennyire furcsa is, az a feladat általános megoldása!

A végeredmény kiszámításához csak a kiinduló adatokat kell behelyettesíteni, és kész a megoldás.

Más kiinduló adatok esetén nem kell újra felírni az arányosságokat, hanem csak egyszerűen be kell helyettesíteni az új adatokat.

De nem csak ez az előnye egy általános megoldásnak.

A legnagyobb haszna, hogy segítségével fel lehet fedezni a feladatban rejlő mélyebb összefüggéseket, amiket a számok elfednek! Meg lehet vizsgálni a megoldás határait, a bemenő adatok megfelelőségét, szélső értékeit, stb. egyszóval analizálni lehet a feladatot.

Ez a feladat nagyon egyszerű, de a végén kiderül, mi minden rejlik benne.

Ehhez vizsgáljuk meg a megoldásokat, illetve a megoldást adó kifejezéseket.

Az első képlet mindkét oldalát b-vel szorozva

f*b = c²

összefüggést kapjuk.

Az ábrából látszik, hogy az 'f' szakasz a 'b' oldal egy darabja, a kettőjük szorzata pedig egyenlő a harmadik négyzetével.

Nem tudom, hogy a 10 évfolyam emelt szintjén elvárható-e, hogy ismerősnek tűnjön ez a kifejezés.

De akár igen, akár nem, a képlet a 'c' oldalra felírt befogó-tétel megjelenési formája!

De a befogó-tétel csak derékszögű háromszögben érvényes, így arra lehet következtetni, hogy az eredeti háromszögünk egy derékszögű háromszög, melynek a 'b' oldal az átfogója, a 'c' oldal az egyik befogója, az 'f' szakasz pedig 'c' oldal átfogóra eső vetülete!

Kérdés, hogy a másik szakaszra kapott összefüggés illeszkedik-e a feltételezésünkbe:

g = (b² - c²)/b

Itt is mindkét oldalt b-vel szorozva lesz

g*b = b² - c²

Ha derékszögű a háromszögünk, akkor

b² - c² = a²

ami nem más, mint a másik befogó négyzete, vagyis

g*b = a²

ez pedig a másik befogóra felírt befogó-tétel kifejezése, vagyis igazolja a feltételezésünket.

Tehát az általános megoldásból arra jutottunk, hogy az eredeti háromszögünk derékszögű, a feladat pedig a befogók átfogóra eső vetületének meghatározása.

A teljességhez hiányzik még egy lépés.

Nézzük az adatokat:

Látszik, hogy a kisebbik befogó (c) az átfogó (b) fele, ezért a háromszögünk egy 30-60-90 fokos derékszögű háromszög, azaz egy 'b' oldalhosszúságú szabályos háromszög fele.

Kíváncsi lennék, hogy pusztán csak a számokat látva ki jutott erre a felismerésre.

DeeDee

**********