Ha tudom egy háromszög két oldalát és területét, hogy tudom kiszámolni a szögeit?

Ha csak ennyit tudsz, akkor egyértelműen nem tudod meghatározni a háromszöget. Vegyünk egy konkrét példát:

a=1 cm, b=2 cm, T=1/2 cm^2, legyen a és b hajlásszöge y, ekkor a szinuszos területképlettel:

1*2*sin(y)/2=1/2, tehát sin(y)=1/2, ennek ugye a megoldása y=30°, viszont a 150°-os tompaszögű háromszögre, hogyha ugyanezt a képletet felírjuk, akkor is 1/2 lesz a terület.

Akárhogy is, ennyiből a harmadik oldalt csak koszinusztétellel tudod kiszámolni (vagy úgy, hogy derékszögű háromszögeket gyártasz, azokra felírod a Pitagorasz-tételt, de szerintem a koszinusztétellel jobban jársz), aztán kiszámolhatod szinusztétellel valamelyik másik szöget, de talán jobban jársz, ha már ismered a háromszög területét, hogy újra felírod a szinuszos területképlet, és azzal számolsz (ügyelni kell viszont itt is az esetszétválasztásra). A harmadik szöget onnan kapod meg a legkönnyebben, hogy tudod, hogy a háromszög belső szögeinek összege 180°.

Ha nagyon nem boldogulsz vele, írd le a példát, és kiszámoljuk.

t=100mm2

a=50mm

b=30mm

Ha a két adott oldal hajlásszöge y, akkor a területképletből

30*50*sin(y)/2=100

sin(y)=4/30=2/15, erre y=~7,66°, ez jó, viszont ennek az egyenletnek alapjáraton van még egy megoldása: y=180°-7,66°=172,34°. Ezért mondtam azt, hogy ezekből az adatokból nem lehet egyértelműen meghatározni a háromszöget.

Ismerünk 2 oldalt és az általuk közbezárt szöget, ezért felírhatjuk a koszinusztételt; ha a harmadik oldal c, akkor

c^2=30^2+50^2-2*30*50*cos(7,66°), erre

c=~20,6584 mm, valószínűleg valamit elszámoltál, hogy nem ez jött ki.

Próbáld meg ezzel az adattal végigszámolni. Illetve a másik szöggel is, amit megadtam.

Érdemes megjegyezni, hogy a y=7,66° nem pontos adat, de mód van arra, hogy pontos adatokkal számoljunk; térjünk vissza a szinuszos egyenlethez:

sin(y)=2/15, emeljük mindkét oldalt négyzetre

(sin(y))^2=4/225

Tudjuk, hogy (sin(x))^2+(cos(x))^2=1, ebből (sin(x))^2=1-(cos(x))^2, és mivel x tetszőleges szög, ezért y is lehet, így az egyenletet így tudjuk átírni:

1-(cos(x))^2=4/225, erre 221/225=(cos(y))^2, és itt fontos megadni, hogy y hegyes- vagy tompaszög-e, mert ha hegyes, akkor cos(y)=gyök(221)/15, ha tompa, akkor cos(y)=-gyök(221)/15, és ekkor a koszinusztételben ezt lehet beírni cos(y) helyére.

Egyébként, ha ezzel számolunk, akkor c-re 20,6588 jön ki, ami persze nem nagy különbség az elsőhöz képest.