Milyen hosszúságúak az óramutatók, ha végpontjaik 2 órakor 13, és 9 órakor 17 egységre vannak egymástól?

A szögek jók.

Az első inkább Pitagorasz tétel, te is lehagytad a szöges részét a koszinusztételnek:

a^2 + b^2 = 17^2

A másodikhoz tényleg a koszinuszételt kell használni:

a^2 + b^2 - 2ab * cos(60°) = 13^2

a^2 + b^2 - ab = 13^2

17^2 - ab = 13^2

ab = 120

Eddig jól csináltad.

Ha hozzávesszük az első egyenletet, akkor egy két változos egyenletrendszert kapunk:

a^2 + b^2 = 17^2

ab = 120

Fejezzük ki b-t a másodikból:

b = 120 / a

(a biztosan nem 0)

Helyettesítsük be az elsőbe:

a^2 + 120^2 / a^2 = 289

a^4 - 289 * a^2 + 14400 = 0

Legyen c := a^2

c^2 - 289c + 14400 = 0

Innen másodfokú egyenlet megoldóképletével megoldod c-re.

A kapott c-ből vagy c-kből kiszámolod a-t.

Abból b-t.

Végül átgondolod, hogy milyen méretbeli összefüggés van az óra mutatói között és azt összeveteted a kapott megoldásokkal. :)

+ ellenőrzés

Egy kis trükkel másodfokú egyenlet nélkül is megoldható a feladat.

Induljunk ki innen, ahová a kérdező is eljutott:

a² + b² = 289 (17²)

ab = 120

A második egyenletet 2-vel szorozva

a² + b² = 289 (17²)

2ab = 240

A két egyenletet összeadva a bal oldal teljes négyzet lesz

(a + b)² = 529

Szerencsére a jobb oldal is négyzetszám, így gyökvonás után kapjuk, hogy

a + b = 23

Ezzel a két egyenletünk

ab = 120

a + b = 23

Tehát keresünk két számot, melyek szorzata 120, az összegük pedig 23.

Ehhez írjuk fel a 120 komplementer osztópárjait:

1 - 120

2 - 60

3 - 40

4 - 30

5 - 24

6 - 20

8 - 15

10 - 12

Azt hiszem, ezekből már nem nehéz kibökni azt a párost, melyek összege 23. :-)

DeeDee

**********