Három prímszám szorzata összegük ötösével egyenlő. Melyik ez a három szám?

"ötösével egyenlő"

Ez alatt mit értesz? Mert ez így értelmetlen.

Ha ötszörösével, akkor az egyik prím szám az 5ös lesz.

Azaz p,q,5, ahol p*q*5 = 5 * (p+q+5). Egyszerűsítve: p*q = (p+q+5).

Két szám összege legfeljebb a nagyobb szám kétszerese és a kisebb szám kétszerese között van nagyon durva becsléssel. Ha három számról van szó, akkor háromszorosa. Azaz tegyük fel, hogy egyik szám 2, vagy 3.

p1,5,2 és p1,5,3

p1*2 = (p1 + 5 + 2) és p2*3 = (p2 + 5 + 3) egyenleteknek van megoldása.

p1=7 és p2 = 4

Belátható, hogy ennél nagyobb prímek esetén sehogy sem lesz meg az egyenlőség.

Remélem ez így is hasznos, nem csak úgy, hogy benyögtem azt a 3 számot az előbb, ami egy program kimenete volt

p,q,r in prims

print "p, q, r" and stop if p*q*r == 5*(p+q+r)

Legyen a három prímszám: p, q, r

A feladat szerint

p*q*r = 5(p + q + r)

p*q*r/5 = p + q + r

Mivel az egyetlen 5-tel osztható prímszám az 5, ezért valamelyik szám is ennyi.

Legyen

r = 5

ezzel

p*q = p + q + 5

Egy kis rendezés

p*q - p - q = 5

p(q - 1) - q = 5

p(q - 1) = q + 5

ebből

p = (q + 5)/(q - 1)

Egy kis fazonírozás a jobb oldalon

p = (q - 1 + 5 + 1)(q - 1) - hozzáadva és levonva 1

p = [(q - 1) + 6]/(q - 1)

Jobb oldalon tagonként osztva

p = 1 + 6/(q - 1)

A jobb oldali tört akkor lehet egész szám, ha

q = 2, 3, 4, vagy 7

Lássuk egyenként

A q = 4 esetet nem is kell vizsgálni, mert nem a 4 prímszám

q = 2 esetén p = 7

q = 3 esetén p = 4, ami nem prímszám, tehát nem jó

q = 7 esetén p = 2

tehát marad a 2 és a 7

vagyis a három keresett prímszám: 2, 5, 7

DeeDee

**********