2n^2-n-36. Milyen n egész szám esetén lesz ez a kifejezés egy prímszám négyzete?

2n² - n - 36 = p²

2n² - n - (p² + 36) = 0

Megoldóképlet:

₂n₁ = [ 1 ± √(1 + 8(p² + 36) ) ] / 4

₂n₁ = [ 1 ± √(8p² + 289 ) ] / 4

D = 8p²+289 páratlan. Ha négyzetszám, akkor a négyzetgyöke (√D) is páratlan. 1+√D és 1-√D közül pontosan az egyik 4-gyel osztható lesz, az ahhoz tartozó n tehát egész lesz.

Keressük tehát azokat a prímeket, amikre 8p²+289 négyzetszám.

289 = 17²

8p² + 17² csak 17-nél nagyobb páratlan négyzetszám lehet:

8p² + 17² = (17 + 2k)²         ahol k>0 egész

8p² = 4k² + 4·17k

2p² = k² + 17k

2·p·p = k·(k+17)

A bal oldalon 3 prímtényező van, a jobb oldal egy kéttényezős szorzat, ezért ez ennyiféleképpen lehet:

a)

k=1, k+17 = 2p²

p = 3

b)

k=2, k+17 = p² → nem jó

c)

k = p, k+17 = 2p

p = 17

d)

k = 2p, k+17 = p → nem jó

e)

k = p², k+17 = 2 → nem jó

f)

k = 2p², k+17 = 1 → nem jó

Tehát p 3 vagy 17 lehet.

Amikhez n=5 illetve n=13 tartoznak.

Az előző megoldás helyes, de egy kicsit egyszerűbb, ha felfedezzük, hogy a bal oldali kifejezés felírható (2n-9)(n-4) alakban.

Ekkor (2n-9)(n-4)=p^2

ami a számelmélet alaptétele miatt nem teljesülhet sokféleképp:

2n-9=1 és n-4=p^2

2n-9=p és n-4=p

2n-9=p^2 és n-4=1

de egy prímszám négyzete előállhat negatív tényezőkből is!!!

2n-9=-1 és n-4=-p^2

2n-9=-p és n-4=-p

2n-9=-p^2 és n-4=-1

Igaz, ez utóbbi három esetből nem kapunk megoldást, de mindenképp az indoklás része.

(Ez egyébként egy 1994-es felvételi feladat volt, és az akkori megoldókulcs is hiányos volt.)