Ha egy másodfokú függvényt lederiválok, akkor mit kapok meg?

Ha egyszer deriválod, akkor megkapod a függvény érintőjének képletét, egy adott pontban.

Ha kétszer deriválod, az a meredekség változását adja meg, vagyis ebből tudsz következtetni a függvény "görbületére", vagyis hol lesz konvex/konkáv. Egyszerűen fogalmazva, hol van a függvénynek lokális szélsőértéke. Mivel a másodfokú függvény parabola alakú és csak egy szélsőértéke van, így ha kétszer deriválod, akkor megkapod a minimumának/maximumának a helyét.

Zérushelyet nem tudsz deriválással meghatározni, ahhoz a "szokásos" módszer kell: függvényt egyenlővé teszed 0-val, és megoldod a másodfokú megoldóképlet segítségével.

Persze. Az ilyen feladatokat könnyebben meg tudod oldani:

[link]

Vagy egy egy nehezebb feladat:

[link]

Persze; definíció szerint az f(x) függvény deriváltja azt mutatja meg, hogy a függvény (x0 ; f(x0)) pontjához húzott érintő egyenes meredeksége mennyi; pontosan f'(x0). Ettől nem kell megijedni, mindjárt kifejtem bővebben is.

Vegyük példának a legegyszerűbb másodfokú függvényt, az x^2-et. Ezt deriváljuk, akkor 2x lesz belőle.

Tegyük fel, hogy mi a függvény (3;9) pontjához akarunk egyenest húzni, ehhez pedig tudnunk kell az egyenes meredekségét. A fenti alapján x0=3, ezt beírjuk abba, ami megadja nekünk a meredekséget: f'(x0)=f'(3)=2*3=6, tehát az egyenes meredeksége 6 lesz. Innen már középiskolás módszerekkel felírható az érintő egyenes egyenlete.

Ha megvizsgáljuk a szélsőértékkel rendelkező, minden pontjában differenciálható egyenleteket, akkor azt vehetjük észre, hogy a szélsőértékek pontjaiba húzott érintő egy x-tengellyel párhuzamos egyenessel, vagyis a meredeksége 0. Tehát, ha egy függvénynek van szélsőértéke, és abban a pontban differenciálható, akkor ott szélső értéke van. Hogy ez lokális vagy globális, az még függ egy pár dologtól, mindenesetre az biztos, hogy ebben a pontban a függvény meredeksége megváltozik (de csak akkor, hogyha ott szélsőérték van). Az állítás megfordítása nem feltétlenül igaz: ahol a derivált értéke 0, ott szélsőérték van, erre általános ellenpélda az x^3 függvény, ennek a deriváltja 3x^2, x=0 helyen a derivált értéke 0, de tudjuk, hogy az x^3 függvénynek nincs szélsőértéke.

Ha újra deriválod a függvényt, akkor abból az derül ki, hogy a függvény konvex vagy konkáv; a definíciót megtalálod a neten, azt most nem fejtem ki, úgyis mindenki úgy jegyzi meg, hogy a konvex az a "mosolygós", a konkáv az a "szomorú". Mosolygós például az x^2 függvény, és attól lesz konvex, hogy a második deriváltja 2, és ott konvex a függvény, ahol a második derivált pozitív. Konkáv akkor, hogyha a derivált negatív; ez a -x^2-re igaz, második deriváltja -2, ez mindenhol negatív, tehát mindenhol konkáv.

Ha valahol a második derivált értéke 0, akkor ott szomorúból mosolygósba vált vagy fordítva; ilyen például az x^3 függvény, második deriváltja 6x, ez ha x<0, akkor szomorú, ha x>0, akkor mosolygós, ha pedig x=0, akkor ott a szomorúból mosolygós lesz.

Nagy vonalakban ennyi, de pl. a Wikipédián is részletesebb leírást találsz.