Többszörös integrálás - térfogatszámítás. Valami ötlet?

Szerintem úgy a legjobb meggondolni, hogy az egységnyi térfogatú kis kockákat akarod összeadni (integrálni). Vagyis az 1-et integrálod x szerint 0 és 4-y² között, y szerint 0 és 2 között, z szerint pedig 0 és 2-y között. Első kísérlet az integrál felírására:

2-y  2 4-y²

 ∫     ∫   ∫   1  dx dy dz

0    0   0

A sorrend nem tökéletes, mert a külső (z szerinti) integrálnál a felső határban van y, ezért annak beljebb kell lennie, az y szerinti integrálnak pedig kijjebb A többi sorrendje mindegy, mert nincs a határokban x vagy z.

 2  2-y 4-y²

 ∫     ∫    ∫ 1 dx dz dy

0    0   0

(nem írom többször az integrálási határokat majd...)

A belső integrál elvégzése után:

= ∫ ∫ [x] dz dy

(itt is persze a [ ]-nek is van határa: 0-tól 4-y²-ig, csak nehéz odaírnom, de te írd oda)

= ∫ ∫ 4-y² dz dy

= ∫ [4z - y²z] dy

= ∫ 4(2-y) - y²(2-y) dy

= ∫ 8 - 4y - 2y² + y³ dy

stb.

Így egyszerűbb, a határok azonnal látszanak a megadott értelmezési tartományból. Mindig a változót tartalmazó határt kell belülre írni!

[link]

De az előzó válaszoló is tökéletest adott:

[link]