Adott a következő komplex számos feladat: z^3=z^- Segítene valaki megoldani?

Írd fel:

(a+bi)^3 = a-bi

ezt kibontva:

a^3+3a^2*b*i-3ab^2-b^3*i = a-b*i

rendezve: (a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)*i = a-b*i

két komplex szám akkor egyenlő, ha a valós és a képzetes részeik megyegyeznek, tehát:

a^3-3ab^2=a ÉS

3a^2*b-b^3 = b egyenletrendszer adódik.

az első egyenletet a-val, a másikat b-vel végigosztva:

a^2-3b^2=1 ÉS

3a^2-b^2=1

Ezt megoldva kapsz a és b értékeket; ezeknek minden lehetséges kombinációja egy-egy megoldás z-re.

Matekmumus, ez valahol nem stimmel, a feladatnak pl. 1 megoldása egész jól láthatóan de a tiedben nem.

Én z-vel szoroznám, z^4=|z|^2 vagyis z^2=+-1... 1,-1,i,-i a megoldások. Meg persze a nulla.

Eh, az én megoldásom csalás viszont matekmanus megoldása mégiscsak jó legalábbis majdnem (de csak majdnem) jó a tiéd, a nullák alaposabb vizsgálatot igényelnek.

Szóval.

(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)*i = a-b*i

két komplex szám akkor egyenlő, ha a valós és a képzetes részeik megyegyeznek, tehát:

a^3-3ab^2=a ÉS

3a^2*b-b^3 = -b egyenletrendszer adódik.

Az előző válaszban +b volt a második jobb oldalán, pedig -b kellene hogy legyen, merthogy konjugált.

Ha a=0 akkor

-b^3=-b

b=0 megoldás, b^2=1, b=+-1 tehát ez a 0, az i és a -i.

Ha b=0 akkor

a^3=a

a=0 már megvolt, a^2=1, ez tehát a -1 és a 1.

Ha egyik sem 0 akkor leosztva

a^2-3b^2=1

3a^2-b^2 = -1

a^2=1+3b^2

3(1+3b^2)-b^2=-1

8b^2=-4

ennek valós megoldása nincs tehát csak a fentiek: 0,+-1, +-i .