Ugyanakkora térfogatú kocka és gömb esetében a gömb felülete hány %-kal kisebb, mint a kocka felülete?

V kocka = a x a x a

V gömb = 4 x R x R x R x 3,14 / 3

Fsz kocka = 6 x a x a

Fsz gömb = 4 x r x r x 3,14

Mit is mond a feladat...

V kocka = V gömb

Legegyszerűbb ha azt veszed hogy mit tudom én... V = 100 (vagy akármelyik számot veheted).

Megoldod az egyenletet a-re és r-re.

Utána behelyettesíted az a-t és r-t a felszínes egyenletekbe.

Aztán Fsz kocka / Fsz gömb megadja hogy hányszorosa a kocka felszíne a gömbének (vagy: Fsz gömb / F kocka megadja hogy hányszorosa a gömb felszíne a kockáénak).

Mivel arányokról van szó, nem szükséges sem felszínt, sem térfogatot kiszámolni.

A dolgozó lusta sokat írni, inkább gondolkodik. :-)

A feladat meghatározni a

q = Fk/Fg

hányadost, és amennyivel ez nagyobb 1-nél, annyival nagyobb a kocka felszíne a gömbénél.

Egy kocka térfogat-felület aránya

Vk/Fk = a/6

ahol 'a' a kocka éle.

Ugyanez gömb esetén

Vg/Fg = r/3

ahol 'r' a gömb sugara

Az arányokból

a kocka felülete

Fk = 6*Vk/a

a gömb felülete

Fg = 3*Vg/r

ezekkel

q = (6*Vk/a)/(3*Vg/r)

egyszerűsítés után

q = (Vk/Vg)*)(2r/a)

Mivel a két térfogat azonos

Vk/Vg = 1

így

q = 2r/a

Lássuk a két test jellemző méretét

A V térfogatú gömb sugarának harmadik hatványa

r³ = 3V/4π

A V térfogatú kocka élének harmadik hatványa

a³ = V

Könnyítésül a keresett hányados mindkét oldalát emeljük a harmadik hatványra

q³ = 8*r³/a³

Behelyettesítve

q³ = 8*(3V/4π)/V

Egyszerűsítés után marad

q³ = 6/π

vagyis

q = ³√(6/π)

========

Ennek a kerekített értéke

q = 1,24

így a válasz a kérdésre: azonos térfogat esetén a kocka felszíne kb. 24%-al nagyobb a gömbénél.

Remélem, hogy ezzel a gondolatmenettel a második kérdésre már meg tudja adni a választ a kérdező.

DeeDee

**********