Mi a megoldása a következő diffegyenletnek: y'' (x) -3y' (x) -10y' (x) =2cos (x)?

Valószínű elírtad az egyenletet, az utolsó y nem y', hanem y lehet.

y'' - 3y' - 10y = 2 cos x

Ez másodrendű lineáris inhomogén diffegyenlet.

Először a homogént kell megoldani, vagyis amiben nincs x-es tag (vagyis a jobb oldal 0):

y'' - 3y' - 10y = 0

Feltételezzük, hogy e^(λx) alakú a megoldás. Ha ezt behelyettesítjük és elvégezzük a deriválásokat, ez lesz:

λ²·e^(λx) - 3λ·e^(λx) - 10·e^(λx) = 0

Lehet egyszerűsíteni e^(λx)-szel, és ez marad:

λ² - 3λ - 10 = 0

Nem is kell ezt mindig végigcsinálni, lehet kapásból ezt a "karakterisztikus egyenletet" felírni, egyértelmű az átalakítás.

A másodfokú egyenlet gyökei:

λ₁ = -2

λ₂ = 5

e^(-2x) és e^(5x) is megoldás, valamint ezek minden lineáris kombinációja. Vagyis a homogén általános megoldás ez:

y = c₁·e^(-2x) + c₂·e^(5x)

A következő lépésként meg kell találni az inhomogén eredeti egyenletnek egy partikuláris megoldását. Itt be kell magolni bizonyos szabályokat, itt van mondjuk egy táblázat rájuk:

[link]

Most tehát a partikuláris megoldás y = A·sin x + B·cos x alakú lesz.

Helyettesítsük ezt be az eredeti egyenletbe és végezzük el a deriválásokat:

(-A·sinx - B·cosx) - 3(A·cosx - B·sinx) - 10(A·sinx + B·cosx) = 2·cosx

(-A+3B-10A)sinx + (-B-3A-10B)cosx = 2cosx

Ez csak akkor lesz az x-től függetlenül igaz, ha a szinusz együtthatója 0, a koszinuszé meg 2:

3B = 11A

2+11B = -3A

→ A = -3/65, B = -11/65

Az eredeti egyenlet általános megoldása pedig a homogén általános megoldásnak és az inhomogén partikuláris megoldásnak az összege:

y = c₁·e^(-2x) + c₂·e^(5x) - (3·sinx + 11·cosx)/65