Matematikai bizonyítás?

Sziasztok. A tétel nevét nem tudom, de láncszabályként hivatkoztak rá, de én úgy tudom, hogy az simán az egymásba ágyazott függvények f(g(x))... re vonatkozik.

A lényege az hogy:

vagy mondjuk egy f(x) és egy g(x) függvényem.

És ezzel a két függvénnyel létrehozok egy harmadik új függvényt. Amit F jelöl.

F(f(x), g(x))

Ha nem egyértelmű mire gondolok akkor itt egy példa.

f(x)=x^2

g(x)=x

F(X1,X2)=X1^X2

Na ez úgy fog legvégül kinézni hogy:

(x^2)^x

Nos és ezt vagy elemi módon deriválom, amire általában nincs szükség vagy egy olyan szabály alkalmazásával hogy:

A nagy F függvény mondjuk X2-es ami esetünkben (g(x))-et konstansnak tekintem és deriválom X1 (ami esetünkben az fx) szerint, majd a láncszabály miatt beszorzom f(x) deriváljtával. A második lépés hogy ugyanezt megteszem X2-vel tehát ott X1 lesz majd konstans.

És ezen kifejezések összege lesz a végső derivált.

A példával is leírom, hogy értsétek :D

(x^2)^x (fx=x^2 és gx=x emlékeztetőül).

gx-et konstansnak tekintve x*(x^2)^(x-1)*2x

fx-et konstansnak tekintve ln(x^2)*(x^2)^x

Tehát az F(X1,X2)=F(f(x),g(x)) x szerinti deriváltja a kettő korábbi összege lesz:

x*(x^2)^(x-1)*2x+ln(x^2)*(x^2)^x=2*(x^2)^x+ln(x^2)*(x^2)^x=(ln(x^2)+2)*(x^2)^x

A példát azért írtam hogy ha esetleg gyenge lenne a megfogalmazás akkor is értsétek :D

Szóval tudom használni ezt a szabályt, de nem tudom miért lehet ezt megcsinálni?

Nagyon tetszik ez a szabály, mert kb mindent meg lehet csinálni vele, pl a szorzatszabály is kijön ebből, amit pl le tudtam vezetni de az csak arra a spec. esetre volt jó.

Szóval aki tudja kérem válaszoljon.

Köszönöm a segítséget!